Encontrar una función que se ajusta a los "puntos más bajos" de otro

Question

Me encontré con este problema que no puedo resolver yo mismo.

Considere la función:
$\displaystyle f(x) = x^{\ln(|\pi \cos x ^ 2| + |\pi \tan x ^ 2|)}$, que tiene singularidades en$\sqrt{\pi}\sqrt{n + \dfrac{1}{2}}$,$n \in \mathbb{Z}$. Observando su gráfica:

podemos ver que a nivel mundial es el aumento de:

Me preguntaba si existe una función de $g(x)$, de tal manera que $f(x) - g(x) \ge 0, \forall x \in \mathbb{R^{+}}$ y que se adapta mejor a los "puntos más bajos" de $f(x)$.
Lo siento por la imprecisión de la terminología, pero la verdad, no sé cómo expresar este concepto matemáticamente. Aquí está, por ejemplo, $g(x) = x ^ {1.14}$ (en rojo):

En realidad $g(x)$ no es correcta, ya que para valores pequeños de a $x$ es mayor que $f(x)$.

Es posible encontrar una $g(x)$, dado que el "más cercano" es $g(x)$ $f(x)$'s "nivel más bajo" es mejor? De nuevo, lo siento por mi terminología, espero que pueda me apunte en la dirección correcta.

Gracias,

Answer 1

Como $a^{\ln b}=\exp(\ln a\cdot\ln b)=b^{\ln a}$ la función de $f$ puede ser escrito de la siguiente manera: $$f(x)=\bigl(\pi|\cos(x^2)|+\pi|\tan(x^2)|\bigr)^{\ln x}\ .$$ Ahora el auxiliar de la función $$\phi:\quad{\mathbb R}\to[0,\infty],\qquad t\mapsto \pi(|\cos(t)|+|\tan(t)|)$$ es periódica con período de $\pi$ y asume su mínimo $\pi$ a los puntos de $t_n=n\pi$. La función $$\psi(x):=\phi(x^2)=\pi|\cos(x^2)|+\pi|\tan(x^2)|\bigr)$$ assumes the same values as $\phi$; in particular it is $\geq\pi$ for all $x\geq0$ and $=\pi$ at the points $x_n:=\sqrt{n\pi}$ $\ (n\geq0)$. Por lo tanto $$f(x)=\bigl(\psi(x)\bigr)^{\ln x}\geq \pi^{\ln x}=x^{\ln\pi}\qquad(x\geq1)$$ y $=x^{\ln\pi}$ a $x_n>1$. Para $0<x<1$ la desigualdad es al revés, porque $y\mapsto q^y$ es decreciente cuando se $0<q<1$.