Si dos mapas inducen el mismo homomorfismo en el grupo fundamental, entonces son homotópicos

Question

Este es el ejercicio 15.11(d) del libro de C. Kosniowsky Un primer curso de topología algebraica :

Demostrar que dos mapeos continuos $\varphi,\ \psi:X\to Y$ con $\varphi(x_0)=\psi(x_0)$ para algún punto $x_0\in X$ inducen el mismo homomorfismo de $\pi(X,x_0)$ a $\pi(Y,\varphi(x_0))$ si $\varphi$ y $\psi$ son homotópicas respecto a $x_0$ .

Lo cual es fácil de resolver. Nos pidieron que probáramos lo contrario pero, ¿es cierto para empezar? Si es así, ¿es un ejercicio estándar o de pensamiento?

Answer 1

Sugerencia: considere $\phi\colon S^2\to S^2$ el mapa de identidad.