Ordenación temporal frente a ordenación normal y la función/propagador de dos puntos

Question

No entiendo cómo calcular esta función de dos puntos generalizada o propagador, utilizada en algunos temas avanzados de la teoría cuántica de campos, un producto normal ordenado (denotado entre $::$ ) se resta del producto ordenado en el tiempo habitual (denominado $T$ ):

$$\langle X^{\mu}(\sigma,\tau)X^{\nu}(\sigma',\tau')\rangle ~=~ T ( X^{\mu}(\sigma,\tau)X^{\nu}(\sigma',\tau')) ~-~ : X^{\mu}(\sigma,\tau)X^{\nu}(\sigma',\tau'):$$

Mi pregunta es si se puede derivar la rs de este propagador o explicar y motivar en palabras sencillas el significado de la sustracción del producto ordenado en el tiempo.

Answer 1

Si los operadores $X_i$ puede escribirse como una suma de una parte de aniquilación y otra de creación $^1$

$$X_i~=~A_i + A^{\dagger}_i, \qquad i~\in ~I, \tag{1}$$

$$\begin{align} A_i|\Omega\rangle~=~0, \qquad & \langle \Omega |A^{\dagger}_i~=~0, \cr \qquad i~\in~&I,\end{align}\tag{2}$$

donde

$$\begin{align} [A_i(t),A_j(t^{\prime})] ~=~& 0, \cr [A^{\dagger}_i(t),A^{\dagger}_j(t^{\prime})] ~=~& 0, \cr i,j~\in ~&I,\end{align}\tag{3}$$

y

$$\begin{align} [A_i(t),A_j^\dagger(t^{\prime})] ~=~& (c~{\rm number}) \times {\bf 1},\cr i,j~\in~&I,\end{align}\tag{4}$$

es decir, proporcional al operador de identidad ${\bf 1}$ entonces se puede demostrar que

$$\begin{align} T(&X_i(t)X_j(t^{\prime})) ~-~:X_i(t)X_j(t^{\prime}):\cr ~=~&\langle \Omega | T(X_i(t)X_j(t^{\prime}))|\Omega\rangle ~{\bf 1}.\end{align} \tag{5}$$

Prueba de la ec. (5): Por un lado, la ordenación del tiempo $T$ se define como

$$\begin{align} T(&X_i(t)X_j(t^{\prime}))\cr ~=~& \Theta(t-t^{\prime}) X_i(t)X_j(t^{\prime}) +\Theta(t^{\prime}-t) X_j(t^{\prime})X_i(t)\cr ~=~&X_i(t)X_j(t^{\prime}) -\Theta(t^{\prime}-t) [X_i(t),X_j(t^{\prime})]\cr ~\stackrel{(1)+(3)}{=}&~X_i(t)X_j(t^{\prime})\cr &-\Theta(t^{\prime}-t) \left([A_i(t),A^{\dagger}_j(t^{\prime})]+[A^{\dagger}_i(t),A_j(t^{\prime})]\right).\end{align} \tag{6}$$

Por otro lado, la ordenación normal $::$ mueve por definición la parte de creación a la izquierda de la parte de aniquilación, por lo que

$$\begin{align}:X_i(t)X_j(t^\prime):~\stackrel{(1)}{=}~& X_i(t)X_j(t^{\prime}) \cr ~-~& [A_i(t),A^{\dagger}_j(t^{\prime})], \end{align}\tag{7}$$

$$\langle \Omega | :X_i(t)X_j(t^{\prime}):|\Omega\rangle~\stackrel{(1)+(2)}{=}~0.\tag{8}$$

La diferencia de las ecuaciones (6) y (7) es la izquierda de la ecuación (5):

$$\begin{align} T(& X_i(t)X_j(t^{\prime})) ~-~:X_i(t)X_j(t^{\prime}): \cr ~\stackrel{(6)+(7)}{=}& \Theta(t-t^{\prime})[A_i(t),A^{\dagger}_j(t^{\prime})] \cr ~+~& \Theta(t^{\prime}-t)[A_j(t^{\prime}),A^{\dagger}_i(t)],\end{align}\tag{9}$$

que es proporcional al operador de identidad ${\bf 1}$ por la hipótesis (4). Ahora intercalamos la ec. (9) entre el bra $\langle \Omega |$ y el ket $|\Omega\rangle$ . Dado que el lado derecho de la ecuación (9) es proporcional al operador de identidad ${\bf 1}$ el derecho no emparedado debe ser igual al derecho emparedado por el operador de identidad ${\bf 1}$ . Por lo tanto, también la lhs. no emparedada de la ec. (9) debe ser igual a la lhs. emparedada por el operador de identidad ${\bf 1}$ . Esto da lugar a la ecuación (5). $\Box$

Un argumento similar aplicado a la ecuación (7) da como resultado que

$$\begin{align} X_i(t)&X_j(t^{\prime}) ~-~:X_i(t)X_j(t^{\prime}):\cr ~=~&\langle \Omega | X_i(t)X_j(t^{\prime})|\Omega\rangle ~{\bf 1} \end{align}\tag{10}$$

es decir, una versión de la ec. (5) sin el orden temporal $T$ .

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$^1$ Los operadores $A_i$ y $A^{\dagger}_i$ no necesitan ser conjugados hermitianos en lo que sigue. Suponemos implícitamente que el vacío $|\Omega\rangle$ está normalizado: $\langle \Omega | \Omega\rangle=1$ .