Hay ondas solitarias en $\phi^4$ teoría en 3+1 dimensiones?

Question

En 3+1 dimensiones con la firma +1 -1 -1 -1,

$$ \mathcal{L}= \frac{1}{2}\partial^\mu\phi\partial_\mu\phi -\phi^2/2 -\phi^4/4$$

campo ecuación: $$\square\phi+\phi+\phi^3=0$ $ ()

$$\square=\partial^2_t-\nabla^2$$

Se nota que no es un sombrero Mexicano. Supongo que esto no ha sido resuelto exactamente antes, pero, alguien se ha demostrado o se descarta que pudiera haber soliton soluciones o, al menos, ondas solitarias?

Answer 1

La solución para el soliton en un $\phi^4$ modelo está dado por hacer un campo de $\phi$ que sólo depende de x y t, y es independiente de cualquier otra dimensiones espaciales. Este es un clásico dimensiones del problema.

Cuando la masa-cuadrado parámetro es negativo, entonces el soliton aparece. Es la solución de la ecuación

$$ \partial_x^2 \phi + \phi - \phi^3 = 0 $$

Donde x es ajustaron para absorber $\mu^2$, e $\phi$ se ajustaron para absorber $\lambda$. La solución se consigue mediante el uso de una versión de conservación de la energía, que trabaja aquí porque el de arriba es un segundo orden de la ecuación diferencial, que se ve como el movimiento de una partícula en un potencial

$$ V(\phi) = {1\over 2} \phi^2 - {1\over 4} \phi^4$$

Tenga en cuenta que este es el campo invertido potencial que aparecen en el Lagrangiano. La solución para $\phi$ tiene un x-conservación de los x-energía, porque si se llama x "tiempo", a continuación, el segundo orden de la ecuación se convierte en las leyes de Newton para un movimiento de dimensiones. La conserva de la cantidad

$$ {1\over 2} (\partial_x \phi)^2 + V(\phi) = E$$

Para el soliton solución, $\phi$ debe ir a la solución de vacío en $x=\pm\infty$. Los dos vacua son los dos mínimos de la original de potencial, los lugares donde

$$ \phi - \phi^3 = 0$$

o

$$\phi = \pm 1 $$

El potencial en estos valores de campo le da la energía, debido a que el gradiente de campo tiene que ir a cero en infinty. Esto hace que el x-energía 1/4 en el infinito.

La conservación de los x-energía entonces le dice que el gradiente de campo

$$ (\partial\phi(x))^2 + \phi^2 - {1\over 2} \phi^4 = 1/2 $$

o que

$$ {1\over (\phi^2-1) } (\partial_x \phi) = \pm t+C $$

o

$$ \tanh^{-1} \phi = t+C $$

Que da la norma $\phi^4$ dominio de la pared soliton

$$ \phi(x) = \tanh(t+C)$$

Esta solución es una partícula en 1d (1+1), una línea en 2d (2+1), un dominio de la pared en 3d (3+1), y, en general, un d-1 dimensiones del objeto en d dimensiones.

Answer 2

Me gustaría darle otra solución a la ecuación que ha sido publicado recientemente (ver aquí). La ecuación

$$\partial_x^2\phi+\mu_0^2\phi+\lambda\phi^3=0$$

admite la solución exacta

$$\phi(x)=\pm\sqrt{\frac{2\mu^4}{\mu_0^2 + \sqrt{\mu_0^4 + 2\lambda\mu^4}}}{\rm sn}\left(p\cdot x+\theta,\sqrt{\frac{-\mu_0^2 + \sqrt{\mu_0^4 + 2\lambda\mu^4}}{-\mu_0^2 - \sqrt{\mu_0^4 + 2\lambda\mu^4}}}\right) $$

siendo sn un Jacobi elíptica función, $\theta$ $\mu$ dos constantes de integración y siempre que

$$ p^2=\mu_0^2+\frac{\lambda\mu^4}{\mu_0^2+\sqrt{\mu_0^4+2\lambda\mu^4}}. $$

Esto tiene la apariencia de una relación de dispersión y $p$ es un cuasi-impulso como sucede en estado sólido, con cuasi-partículas en una fuerte interacción medio ambiente.

Como se señaló antes, este no es un soliton solución.