Es cada subconjunto abierto de $ \mathbb{R} $ incontable?

Question

Es cada subconjunto abierto de $\mathbb{R}$ incontable? Yo era la elaboración de una prueba del teorema de los estados que cada subconjunto abierto de $\mathbb{R}$ puede ser escrito como la unión de un contable número de intervalos disjuntos cuando esta pregunta se acercó. Me siento como la respuesta es sí, pero no estoy seguro de cómo ir sobre la prueba o si hay un loco de la construcción (como el Conjunto de Cantor) que crea una contables, abrir subconjunto de $\mathbb{R}$. Alguna idea?

Answer 1

El conjunto vacío.

De lo contrario, sí. Cada intervalo abierto es incontable, por lo que cada vacío abierto subconjunto de $\Bbb R$ es incontable.

Answer 2

Otro de $\emptyset$, cada subconjunto abierto de $\mathbb{R}$ es un vacío de la unión de abiertos disjuntos intervalos, cada uno de los cuales están abiertos. Una unión de bloques abiertos siempre está abierta. Cada intervalo abierto no vacío es incontable.

Answer 3

Yo asumo que usted no quiere una prueba, pero las sugerencias. Para demostrar que todos los intervalos son innumerables las que primero trate de probar (0,1) es incontable. Se puede construir una fracción decimal de un número que se encuentra en (0,1), pero no en una supuesta secuencia de todos los números en (0,1)?

Después de que usted haya establecido (0,1) es incontable usted podría intentar la construcción de un bijection entre (a,b) y (0,1) y lo que demuestra (a,b) es incontable.

Answer 4

Para cualquier punto de $x$ de un conjunto abierto $S$, $S$ contiene un barrio de $x$, y este barrio tiene una cantidad no numerable de elementos. Así que mientras a $x\in S$ existe (en otras palabras $S\neq\emptyset$) $S$ es incontable.