¿Por qué los matemáticos escoger y elegir los axiomas?

Question

Obviamente, se necesitan algunos "auto-evidentes" verdades que no podemos probar, pero en las que nos basamos ciertos teoremas; por ejemplo, el axioma de elección de plomo para el buen orden teorema (que bien podría ser un axioma).

Básicamente, lo que estoy preguntando es ¿cómo los matemáticos saben lo que es "tan trivialmente cierto, que se supone para ser verdad"?

Por ejemplo, el axioma de Playfair/el postulado paralelo no parece ser trivialmente cierto (al menos para mí, y por lo que pude ver, muchos matemáticos trataron de demostrar que es), entonces, ¿por qué fue este axiomatised?

Entiendo que podemos construir cosas útiles a partir de estas suposiciones no probadas, como, por ejemplo, los reales, desde el axioma de completitud, pero, a menos que se trata de una definición de propiedad, ¿cómo se puede decir con certeza "declaración de $X$ es, inequívocamente, la verdadera"?

Por último, hay axiomas aún por descubrir, y, si es así, que determina su validez?

Answer 1

Dado que, por definición, ningún axioma puede ser probado utilizando sólo los otros axiomas, la elección de los axiomas es algo arbitrario como usted siempre puede decidir trabajar dentro de un sistema con más o menos axiomas. Los matemáticos, por tanto, elegir los axiomas que se basa en cómo útiles los resultados en base a los axiomas puede ser.

Por ejemplo, si optamos por no usar el axioma de elección, no podemos asumir que un determinado espacio vectorial tiene una base. Desde una base para un espacio vectorial es una cosa muy útil, asumiendo el axioma de elección cada vez que nos ocupamos de espacios vectoriales es una decisión común. Usted todavía podría tener un espacio vectorial sin ella, pero sus propiedades, sería mucho menos útiles que los espacios vectoriales axiomatized con el axioma de elección.

Lo mismo va para el postulado paralelo con miles de años de matemáticas utilizados como base para la geometría Euclidiana, trigonometría y así sucesivamente. Cuando un caso de uso que se encontró por la geometría no Euclidiana, este postulado fue retirado de los casos de uso.

En última instancia, la matemática es todo acerca de la creación de estructuras que se pueden utilizar ya sea para modelar problemas del mundo real, para avanzar en nuestra comprensión de las estructuras existentes, o crear nuevas y diversas estructuras. La elección de los axiomas es sólo un medio para un fin, no es una representación de algo más profundo de la verdad.

Answer 2

Un formalista perspectiva es que si algo no satisfacen los axiomas de la geometría Euclidiana, entonces no podríamos llamar a un plano Euclidiano. Si algo no satisface los axiomas de Peano, entonces no vamos a llamar a una colección de números naturales. Y así sucesivamente.

Answer 3

Idea alternativa de axioma: la propiedad verificada por la estructura que nos interesa.