Estoy un poco atascado con esto. He encontrado las singularidades a ser a $\pm 2i$ $0$ (punto de ramificación). Hasta ahora, el uso de una rama cortada en $2\pi$ me he encontrado con que $$\int_{0}^{\infty}\frac{\ln(2r)}{4+r^2}dr+\int_{0}^{\infty}\frac{\ln(2r)+2\pi i}{4+r^2}dr = 2I+\int_{0}^{\infty}\frac{2\pi i}{4+r^2}dr$$ Y $$\int_{0}^{\infty}\frac{2\pi i}{4+r^2}dr = \text{Res}(r=2i) \\ = -2\pi^2\lim_{r\to2i}\frac{r-2i}{(r-2i)(r+2i)} = \frac{i}{2}\pi^2$$ Mi problema es que la respuesta que he encontrado es completamente imaginario, y no estoy seguro de cómo esto es posible dado que la función original es real. Cualquier ayuda es muy apreciada.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Considere la posibilidad de
$$f(z) = \frac{\log(2z)}{z^2+4}$$
Mediante el uso de una clave de orificio integral con la rama de corte positivo del eje debemos obtener
$$\int^\infty_0 \frac{\log(|2x|)}{x^2+4}\,dx + \int_{\infty}^{0} \frac{\log(|2x|)+2\pi i}{x^2+4}\,dx =2\pi i \sum \mathrm{Res}(f,z_0)$$
Vemos que la primera y la segunda integrales cancelar. Ahora para evitar que considerar
$$f(z) = \frac{\log(2z)^2}{z^2+4}$$
Mediante el uso de una clave de orificio integral con la rama de corte positivo del eje debemos obtener
$$\int^\infty_0 \frac{\log^2(|2x|)}{x^2+4}\,dx + \int^0_{\infty} \frac{(\log(|2x|)+2\pi i)^2}{x^2+4}\,dx =2\pi i \sum \mathrm{Res}(f,z_0)$$
$$\int^\infty_0 \frac{\log^2(|2x|)}{x^2+4}\,dx - \int_0^{\infty} \frac{(\log(|2x|)+2\pi i)^2}{x^2+4}\,dx =2\pi i \sum \mathrm{Res}(f,z_0)$$
Ahora usted puede ver que $\log^2(2x)$ será cancelado y nos quedamos con $\log(2x)$.
Otro enfoque
Integrar alrededor de un gran semicírculo sangrías a 0 en la rama de corte es elegido en el eje imaginario, a continuación, para
$$f(z) = \frac{\log(2z)}{z^2+4}$$
tenemos sólo uno de los polos en $z = 2i$
$$\int_{-\infty}^0 \frac{\log|2x|+\pi i}{x^2+4}\,dx +\int^{\infty}_0 \frac{\log|2x|}{x^2+4}\,dx = 2\pi i \,\mathrm{Res}(f,2i)$$
$$2\int^\infty_0 \frac{\log(2x)}{x^2+4}\,dx + \pi i\int^\infty_0\frac{1}{x^2+4}\,dx = 2\pi i \,\mathrm{Res}(f,2i) $$
Tenga en cuenta que
$$\mathrm{Res}(f,2i) = \lim_{z \to 2i} (z-2i) \frac{\log(2z)}{(z-2i)(z+2i)} = \frac{\log(4i)}{4i} = \frac{\log(4)+(\pi i)/2}{4i}$$
$$2\int^\infty_0 \frac{\log(2x)}{x^2+4}\,dx + \pi i\int^\infty_0\frac{1}{x^2+4}\,dx = \pi \frac{\log(4)+(\pi i)/2}{2} $$
Por la comparación que hemos
$$\int^\infty_0 \frac{\log(2x)}{x^2+4}\,dx = \frac{\pi}{2} \log(2)$$
Dr. MV
Puntos
34555
METODOLOGÍA DE $1$: ANÁLISIS COMPLEJO
Como ya se estableció en la respuesta de la izquierda por @ZaidAlyafeai, el enfoque clásico comienza por analizar la integral de contorno
$$I=\oint_C \frac{\log^2(2z)}{z^2+4}\,dz$$
donde $C$ es el "ojo de la cerradura" contorno con el ojo de la cerradura, tomadas a lo largo del eje real positivo. En ese caso $0\le \arg(z)<2\pi$. Entonces, tenemos
$$\begin{align} \color{blue}{\int_0^\infty \frac{\log^2(2x)}{x^2+4}\,dx-\int_0^\infty\frac{(\log(2x)+i2\pi)^2}{x^2+4}\,dx}&=\color{red}{2\pi i \text{Res}\left(\frac{\log^2(2z)}{z^2+4}, z=\pm i2\right)}\\\\ &=\color{red}{2\pi i\left(\frac{\log^2(4i)}{4i}+\frac{\log^2(-4i)}{-4i}\right)}\\\\ &=\color{red}{\frac{\pi}{2}\left((\log(4)+i\pi/2)^2-(\log(4)+i3\pi/2)^2\right)}\\\\ \color{blue}{4\pi^2\int_0^\infty\frac{1}{x^2+4}\,dx-i4\pi\int_0^\infty\frac{\log(2x)}{x^2+4}\,dx}&=\color{red}{\frac{\pi}{2}\left(2\pi^2-i2\pi\log(4)\right)}\tag 1 \end{align}$$
donde nos encontramos por la configuración de partes real e imaginaria de $(1)$ igual
$$\int_0^\infty \frac{1}{x^2+4}\,dx=\frac{\pi}{4}$$
y
$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\int_0^\infty\frac{\log(2x)}{x^2+4}\,dx=\frac{\pi\log(2)}{2}} \tag 2$$
METODOLOGÍA DE $2$: ANÁLISIS REAL
Pensé que podría ser instructivo para presentar un enfoque que se basa en el análisis real sólo.
Para continuar, tenemos que comenzar por hacer cumplir la sustitución de $x\to 4/x$. Entonces, tenemos
$$\begin{align} \int_0^\infty \frac{\log(2x)}{x^2+4}\,dx&=\int_0^\infty \frac{\log(8/x)}{(4/x)^2+4}\,\frac{4}{x^2}\,dx\\\\ &=4\log(2)\int_0^\infty\frac{1}{x^2+4}\,dx-\int_0^\infty \frac{\log(2x)}{x^2+4}\\\\ 2\int_0^\infty \frac{\log(2x)}{x^2+4}\,dx&=4\log(2)\int_0^\infty\frac{1}{x^2+4}\,dx\\\\ \int_0^\infty \frac{\log(2x)}{x^2+4}\,dx&=2\log(2)\int_0^\infty\frac{1}{x^2+4}\,dx\\\\ &=\frac{\pi\log(2)}{2} \end{align}$$
de acuerdo con el resultado en $(2)$ como se esperaba!
