Espacios de Sobolev - sobre la aproximación suave

Question

Considere $\Omega $ un conjunto abierto y acotado de $\mathbb R^n$ . Sea $u \in H^{1}(\Omega)$ una función acotada. Sé que existe una secuencia $u_m \in C^{\infty} (\Omega) $ donde $u_m \rightarrow u$ en $H^{1}(\Omega)$ . Puedo afirmar que existe $C>0$ donde $|u_m (x)| \leq C , \forall \ x , \forall m ?$

No tengo ni idea de cómo demostrar esto o cómo mostrar un contraejemplo ...

mi inglés es terrible, lo siento ..

Answer 1

Sí, es posible encontrar una secuencia aproximada uniformemente acotada. Sea $\phi:\mathbb R\to\mathbb R$ sea un límite $C^\infty $ de tal manera que

• $\phi(x)=x$ para $x\in [-M,M]$ donde $M=\operatorname{ess\,sup}|u|$
• $ 0\le \phi'(x)\le 1$ para todos $x$ . (Como consecuencia, $|\phi(x)|\le |x|$ para todos $x$ .)

Por cada $m$ la función $\phi\circ u_m$ es suave y satisface $\|\phi\circ u_m\|_{H^1}\le \|u_m \|_{H^1}$ . Dado que la secuencia $(u_m)$ converge en el $H^1$ está acotada en la norma $H^1$ norma. Por lo tanto, la secuencia $(\phi\circ u_m)$ está acotado en el $H^1$ norma. De ello se desprende que $(\phi\circ u_m)$ tiene una subsecuencia que converge en la topología débil de $H^1(\Omega)$ . Por otro lado, $\phi\circ u_m\to \phi\circ u=u$ en $L^2(\Omega)$ . Por lo tanto, el mencionado límite débil es efectivamente $u$ . Además, es el límite fuerte porque $\limsup\|\phi\circ u_m\|_{H^1}\le \limsup\| u_m\|_{H^1}=\|u\|_{H^1}$ .

Answer 2

Usted está buscando Teorema de Meyers-Serrin . Sin embargo, cabe añadir que no siempre es posible obtener una aproximación a partir de $C^{\infty}(\overline{\Omega})$ . Se puede encontrar una prueba de lo anterior aquí . Creo que he entendido mal su pregunta. Estoy asumiendo que usted quiere decir que $u\in L^{\infty}(\Omega)\cap H^1(\Omega)$ . En ese caso, es bien sabido que si $u_m\to u$ en $L^p(\Omega)$ , entonces hay una subsecuencia $u_{m_k}$ que converge puntualmente en casi todas partes a $u$ . Por lo tanto, para casi todos los $x$ , $\{u_{m_k}(x)\}$ está acotado. No se me ocurre ningún contraejemplo.