Dos diferentes expansiones de $\frac{z}{1-z}$

Question

Este es el ejercicio 21 del Capítulo 1 de Stein y Shakarchi del Análisis Complejo.

Mostrar que para $|z|<1$ ha $$\frac{z}{1-z^2}+\frac{z^2}{1-z^4}+\cdots +\frac{z^{2^n}}{1-z^{2^{n+1}}}+\cdots =\frac{z}{1-z}$$y

$$\frac{z}{1+z}+\frac{2z^2}{1+z^2}+\cdots \frac{2^k z^{2^k}}{1+z^{2^k}}+\cdots =\frac{z}{1-z}.$$

Justificar cualquier cambio en el orden de la suma.

[Sugerencia: Use el diádica de expansión de un número entero y el hecho de que $2^{k+1}-1=1+2+2^2+\cdots +2^k$.]

Yo no sé realmente cómo trabajar a través de esto. Sé que $\frac{z}{1-z}=\sum_{n=1}^\infty z^n$ y cada una de las $n$ puede ser representado como un diádica de expansión, pero no sé cómo avanzar a partir de aquí. Cualquier sugerencias de soluciones o sugerencias se agradece.

Answer 1

Desde minimalrho ha explicado cómo proceder con la idea, me voy a dar un método alternativo. El $k$th sumando de la primera serie puede ser escrito

$$\frac{z^{2^k}}{1 - z^{2^{k}}} - \frac{z^{2^{k+1}}}{1-z^{2^{k+1}}}$$

y el $k$th sumando de la segunda serie puede ser escrito

$$\frac{2^kz^{2^k}}{1 - z^{2^k}} - \frac{2^{k+1}z^{2^{k+1}}}{1-z^{2^{k+1}}}$$

Por lo tanto, el $N$th sumas parciales de las dos series telescopio

$$\frac{z}{1 - z} - \frac{z^{2^{N+1}}}{1 - z^{2^{N+1}}}\quad \text{and}\quad \frac{z}{1 - z} - \frac{2^{N+1}z^{2^{N+1}}}{1 - z^{2^{N+1}}}$$

respectivamente. El uso de la condición de $\lvert z\rvert < 1$, sostienen que el $z^{2^{N+1}}/(1 - z^{2^{N+1}})$ $2^{N+1}z^{2^{N+1}}/(1 - z^{2^{N+1}})$ tienden a $0$$N\to \infty$. A continuación, los resultados siguen.

Answer 2

Sugerencia y respuesta parcial: el Uso de esta partición de los números enteros y $$\frac{z}{1-z}=\sum_{n=1}z^n=...$$ Esta serie es de absoluta convergencia determinado $|z|<1$, por lo tanto cambiando el orden de la suma no afecta el valor final. Como resultado: $$...=\sum_{k=0}\left(\sum_{t\en A_k}z^t\right)=\sum_{t\en A_0}z^t+ \sum_{k=1}\left(\sum_{t\en A_k}z^t\right)=\sum_{s=0}z^{2s+1} + \sum_{k=1}\left(\sum_{s=0}z^{2^k(2s+1)}\right)=\\ z\sum_{s=0}z^{2s}+\sum_{k=1}z^{2^k}\left(\sum_{s=0}z^{2^k(2s)}\right)=\frac{z}{1-z^2}+\sum_{k=1}\frac{z^{2^k}}{1-z^{2^{k+1}}}$$