"Casi" Serie Armónica

Question

Es bien conocido que $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1+\varepsilon}} < \infty, \ \forall \varepsilon >0. $$

¿Qué sucede si reemplazamos $\varepsilon$$\varepsilon_n \downarrow 0$?

WolframAlpha dice $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1+\varepsilon_n}} $$

converge para $$ \varepsilon_n = \frac{1}{\sqrt{\log(n+1)}} $$

y diverge para $$ \varepsilon_n = \frac{1}{\log(n+1)}. $$

Así que la pregunta es: ¿se puede encontrar un "límite" disminuir la tasa tal que la serie converge para $\varepsilon_n$ aproxima a cero menor que la de y diverge si $\varepsilon_n$ disminuye más rápido?

Answer 1

$$\int \frac{1}{x^{1+1/\ln(x)}}dx=\int\frac{dx}{x}(1/x)^{(1/\ln x)}$$

Set$u=\ln x$,$x=e^u$$1/x=e^{-u}$, por lo que la integral se convierte en $$\int du (e^{-u})^{1/u}=\int e^{-1}du$$

que es divergente. La sustitución de $1/\ln x$ $(1/\ln x)^s$ va a ser divergentes (resp. convergente) si $s\ge 1$ (resp. $s<1$).