Considere la ecuación hipergeométrica con parámetros de $(a,b,c)=\left(\frac16,\frac12,\frac13\right)$, y construir a partir de sus dos canónica de las soluciones cerca de $z=0$ el vector
$$\vec{y}(z)=\left(\begin{array}{c}
y_1 \\ y_2
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
_2F_1(a,b;c;z) \\ z^{1-c}{}_2F_1(a-c+1,b-c+1;2-c;z)
\end{array}\right).\la etiqueta{1}$$
Este es un valor único vector de la función en $\mathbb{C}\backslash\{(-\infty,0]\cup[1,\infty)\}$. Su continuación analítica a lo largo de un circuito cerrado $\gamma$ da lugar a monodromy representación de $\pi_1(\mathbb{C}\backslash\{0,1\})$:
$$ \gamma\mapsto M_{[\gamma]},\qquad y(\gamma z)=M_{[\gamma]}y(z).$$
El monodromy grupo $G\subset GL(2,\mathbb{C})$ de la ecuación hipergeométrica es generado por dos matrices correspondientes a simple bucles alrededor de $0$$1$. En el caso que nos interesa en estas matrices son explícitamente dada por
$$M_0=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & e^{-2\pi i /3}\end{array}\right),\qquad
M_1=C\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & e^{2\pi i /3}\end{array}\right)C^{-1},\etiqueta{2}$$
donde la conexión de la matriz $C=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2^{\frac43} \\ -2^{\frac83} & 8\end{array}\right)$. Si $G$ es finito, entonces $\vec{y}(z)$ tiene un número finito de las ramas, y por otra parte (Schwarz) de 1872, es algebraico.
No es difícil comprobar que la monodromy grupo $G$ generado por $M_0$, $M_1$ a partir de (2) es, de hecho, finito. En particular, tenga en cuenta que
$$M_0^3=M_1^3=I,\qquad M_1^2=-M_0M_1M_0, $$ $$M_1M_0M_1=-M_0^2,\qquad M_1M_0^2M_1=M_0^2M_1M_0^2.$$
Resulta que $G$ orden $24$ e es isomorfo a la binarios tetraédrica grupo:
$$G\cong 2T=\langle s,t\,|\,(st)^2=s^3=t^3\rangle, $$
donde los generadores pueden ser identificados como $s=M_0M_1M_0M_1M_0$, $t=M_1M_0M_1M_0M_1$.
Corolario: Las funciones hipergeométricas en (1) son algebraicas.
Soluciones algebraicas de la hipergeométrica ecuaciones se clasifican por el llamado Schwarz tabla, y que han sido estudiados por muchos matemáticos, ver, por ejemplo, la bibliografía de este documento por R. Vidunas. Su construcción explícita es algo involucrados, pero relativamente sencilla, al menos cuando la correspondiente curva algebraica tiene género $0$ (el género puede ser determinado de forma independiente de la de Riemann-Hurwitz fórmula).
En nuestro caso, la tarea se simplifica aún más a medida que nuestros valores de los parámetros pueden ser obtenidos desde el género $0$ tetraédrica la fórmula (2.4) de la mencionada papel por una combinación de un lineal de la transformación (envío de $\frac56$$\frac43-\frac56=\frac12$) y la diferenciación (la transformación de $\frac43$ a $\frac13$). El resultado es
$$_2F_1\left(\frac16,\frac12;\frac13;-\frac{r(r+2)^3}{(r+1)(1-r)^3}\right)=\frac{\sqrt{1-r^2}}{2r+1}.$$
Corolario: La antiderivada $\displaystyle\int \mathcal{R}\left(x,y(x)\right)dx$ donde $y(x)={}_2F_1\left(\frac16,\frac12;\frac13;-x\right)$ $\mathcal{R}(x,y)$ es racional en ambos argumentos, se puede expresar en términos de funciones elementales.
Ejemplo:
La transformación de $r\mapsto x(r)=\frac{r(r+2)^3}{(r+1)(1-r)^3}$ bijectively mapas de $(0,1)$$(0,\infty)$, y por lo tanto la integral inicial se convierte en
\begin{align}\mathcal{I}&=\int_0^1 \left(\frac{\sqrt{1-r^2}}{2r+1}\right)^{12}\left(\frac{r(r+2)^3}{(r+1)(1-r)^3}\right)'dr=\\&=
2\int_0^1 \frac{(1+r)^4(1-r)^2(r+2)^2}{(2r+1)^{10}} dr=\\&=\frac{80\,663}{153\,090}.
\end{align}
