Suma con la función hipergeométrica, potencia y funciones factoriales

Question

Estoy encontrando algunos problemas para calcular la siguiente suma con la función hipergeométrica, potencia y funciones factoriales. $$ \sum_{y=1}^\infty \mathrm{e}^z \cdot {} _1F_1\left(1-y;2;-z\right) \frac{\mu^y}{y!} \mathrm{e}^{-\mu} $$

¿Usted por favor me podriais facilitar algunas pistas para resolver esta suma? Gracias de antemano

Answer 1

1. Multiplicar la suma por $e^{\mu-z}$ y se diferencian con respecto a $\mu$ para obtener $$\sum_{n=0}^{\infty} {}_1F_1(-n,2,-z)\frac{\mu^n}{n!}\tag{1}$$
2. El uso de la (espero que, accidentalmente) no aceptados respuestas a su pregunta aquí para expresar $_1F_1$ en la suma generalizado polinomios de Laguerre: $$ \frac{_1F_1(-n,2,-z)}{n!}=\frac{L_n^{(1)}(-z)}{(1+1)_n}.\tag{2}$$
3. El uso de (2) y la generación de la función de los polinomios de Laguerre (fórmula 18.12.14) la suma de la serie (1) $$ \left(-\mu z\right)^{-1/2}e^{\mu}J_1(2\sqrt{-\mu z})=\left(\mu z\right)^{-1/2}e^{\mu}I_1(2\sqrt{\mu z})$$
4. Volver a integrarse con respecto a $\mu$ y multiplicar el resultado por $e^{z-\mu}$. El resultado final es $$ e^{z-\mu}\int_0^{\mu}\left(\nu z\right)^{-1/2}e^{\nu}I_1(2\sqrt{\nu z})\,d\nu=z^{-1}e^{z-\mu}\int_0^{2\sqrt{\mu z}}e^{{x^2}/{4z}}I_1(x)\,dx.$$ No creo que la última integral se puede expresar en términos de primaria o razonablemente simples funciones especiales.