Considerar el grupo de $p^n$-Selmer de una curva elíptica $E/\mathbb{Q}$, $\operatorname{Sel}_{p^n}(E)$. ¿Debemos siempre tener $\operatorname{Sel}_{p^n}(E) \cong (\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})^{s}$ $s$? Parece que todos los ejemplos que he visto con $p^n = 2, 3$ esto parece ser cierto, pero ¿por qué?
Respuestas
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Deje $p=2$$n=2$, y considerar la posibilidad de $\text{Sel}_4(E/\mathbb{Q})$, la Selmer grupo asociado a la isogeny $[4]:E\to E$. Por definición, la Selmer grupo y el Tate-Shafarevich grupo de ajuste en una secuencia exacta: $$0\to E(\mathbb{Q})/4E(\mathbb{Q})\to \text{Sel}_4(E/\mathbb{Q})\to \text{Sha}(E/\mathbb{Q})[4]\to 0.$$ Supongamos que $E(\mathbb{Q})\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$. A continuación, $$E(\mathbb{Q})/4E(\mathbb{Q})\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}.$$ Por otra parte, supongamos que el $\text{Sha}(E/\mathbb{Q})[4]$ es trivial. A continuación, $$\text{Sel}_4(E/\mathbb{Q})\cong E(\mathbb{Q})/4E(\mathbb{Q})\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}.$$ Por supuesto, mostrando que $\text{Sha}(E/\mathbb{Q})[4]$ es trivial es duro, pero si estás dispuesto a asumir el Birch y Swinnerton-Dyer conjetura, entonces usted puede buscar ejemplos donde la analítica, la orden de Sha es $1$ (o, más generalmente, impar analítica orden). Usted puede encontrar una lista de $100$ ejemplos que satisfacen las propiedades anteriormente mencionadas aquí. Por ejemplo, $$E: y^2+xy=x^3-x$$ es un ejemplo de ello.
Bryan Roth
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El $p^n$-Selmer grupo es finito, $p^n$- torsión abelian grupo. Al $n = 1$ un chico debe ser de la forma $(\mathbb{Z}/p^n \mathbb{Z})^s$ algunos $s$, pero para $n > 1$ un chico se le permite ser una suma directa de copias de $\mathbb{Z}/p^m \mathbb{Z}$ todos los $1 \leq m \leq n$. Otra forma de decir esto es que un finitely generadas $\mathbb{Z}/p^n \mathbb{Z}$-módulo no necesita ser libre a menos que $n = 1$.
No estoy seguro de que he visto un ejemplo claro donde la $p^n$-Selmer grupo no es $\mathbb{Z}/p^n \mathbb{Z}$libre, pero sin embargo, yo estoy preparado para (casi!) garantía de que tal cosa existe. Si yo fuera usted, me gustaría empezar a buscar en $4$-Selmer grupos y estoy seguro de que encontrará un ejemplo más temprano que tarde.
Si usted intenta por un tiempo para encontrar un $4$-Selmer grupo y fallar, hágamelo saber y voy a pensar un poco más sobre cómo buscar / construir tal cosa.
