Expansión de una norma sobre un espacio dado

Question

Que $1 \leq p<q \leq \infty$ (p) no están relacionados con un q)

Que $\Phi$ el espacio vectorial de todas las secuencias con a lo más finito muchos elementos de distinto de cero, sentido $\Phi=\{\{x_n\}_{n=1}^\infty|$ allí es $n_o$ tal que $x_n=0$ cuando $n\leq n_0\}$

Demostrar que $\|x\|_q \leq \|x\|_p$ % todo $x \in \Phi$y no hay constante $C$ tal que $\|x\|_p \leq C\|x\|_q$ % todo $x \in \Phi$

¿Cómo puedo mostrar que $\sup_{0\neq x\in \Psi} \frac{\|x\|_p}{\|x\|_q}=\infty$? Esto demuestra ambas inecuaciones pero no puedo conseguir epand y resolver la función sup. ¿Qué es el sistema? ¿es en absoluto una buena dirección?

Answer 1

Sugerencia: (supongo que $q>p$)

1. Puede asumir que un $||x||_p = 1$. Entonces cada $|x_i| \le 1$. Así $|x_i|^q \le |x_i|^p$. Ahora en definitiva esto.

2. Pruebe la secuencia $u_n = \frac{1}{n^{1/p}}$