¿Cuáles son las transformaciones naturales en categorías de 1?

Question

Es bien sabido que, para un montón de categorías concretas (pero no todos), podemos pensar en los objetos como en ellos mismos categorías pequeñas, y morfismos son los functors entre estas categorías. Los ejemplos incluyen fibra de vidrio, Ab,... Cuando aplicamos este tipo de construcción, giramos a la 1 de la categoría en un (estricta, creo?) 2-categoría. Pero 2-categorías de llevar algo más de estructura, a saber, la noción de una transformación natural. Cuando nos "decategorify" de vuelta, ¿de dónde viene esta extra estructura ir?

Puedo trabajar en algunos casos específicos; por ejemplo, si estamos categorify Ab de la manera obvia, no hay ninguna que no sea trivial natural transformaciones. No tengo una caracterización para cuando dos morfismos de grupos son naturalmente isomorfos como functors entre el subyacente categorías, aunque tengo una idea de cómo la cuestión se comporta.

¿Hay algún tipo de resultados generales en lo natural transformaciones entre morfismos mirada como si nos categorify de esa manera? Es, al menos, independiente de cómo nos damos cuenta de los objetos como categorías pequeñas? (Sospecho que la respuesta a la segunda pregunta es "no", pero no tienen las habilidades para construir un contraejemplo. Espero estar equivocado, sin embargo.)

Más generalmente, si podemos categorify un n-categoría a (n+k)-categoría olvidar la mayor morfismos, el más alto morfismos ir abajo a la n-categoría en cualquier forma agradable?

Answer 1

Dos morfismos de grupos son isomorfos como functor entre las categorías relacionadas si y sólo si difieren por un automorfismo interno del grupo objetivo. La elección de un determinado isomorfismo de tal versión es equivalente a la elección de un elemento del grupo destinatario que la conjugación con este elemento identifica el dos morfismos.

Answer 2

Aquí es un contraejemplo para tu siguiente a la última pregunta. Sea S un conjunto con más de un elemento y considerar las dos subcategorías de Gato, respectivamente, con la única categoría que es la categoría discreta en S, y la única categoría que es la codiscrete categoría en S. En cada caso, al ver el Gato como 1-categoría, el resultado completo de la subcategoría tiene un solo objeto con endomorphisms Hom(S, S). Sin embargo, si vemos al Gato como un 2-categoría, el ex subcategoría no tiene trivial natural transformaciones y por lo tanto realmente está BHom(S, S), mientras que el segundo tiene una única transformación natural entre dos functors y por lo tanto es en realidad • hasta 2-equivalencia.

Gato-el-1-de la categoría y el Gato-el-2-categoría son muy diferentes construcciones que por desgracia suelen ir por el mismo nombre. Incluso a pesar de que tienen "el mismo de" objetos", que me sugieren el pensamiento de sus objetos de diferentes tipos de cosas. Un objeto de Gato-el-1-categoría tiene más información que un objeto de Gato-el-2-categoría; podemos hablar acerca de la cardinalidad de su conjunto de objetos, no sólo la cardinalidad de su conjunto de isomorfismo clases de objetos. (Esto no debería parecer muy extraño, puesto que un objeto de Gato-el-0-se trata de una categoría "especial" de la categoría, de la que podemos hablar sobre el conjunto de objetos). Dicho de otra manera, un objeto de Gato-el-1-se trata de una categoría "monoid con muchos objetos", mientras que un objeto de Gato-el-2-de la categoría es lo que más a menudo se piensa cuando se piensa acerca de las categorías (especialmente las grandes).

En tu ejemplo, usted expresa Ab como una subcategoría de Gato-el-1-de la categoría. El pleno de la subcategoría de Gato-el-2-categoría en el mismo de los objetos no es Ab, ya que tiene trivial natural automorfismos, como otros han señalado. Sólo se convierte Ab después de truncamiento—colocación de cada uno de los Hom-categoría por su conjunto de isomorfismo clases de objetos. Para la fibra de vidrio, la situación es peor, desde el grupo distinto homomorphisms puede ser naturalmente isomorfo como functors. La forma habitual para reparar este es trabajar con "señaló categorías", como se describe en este nlab página. Pero por supuesto, esto es una especie de extra estructura en una categoría, y si se me permite introducir arbitraria extra estructura, entonces la pregunta es demasiado fácil. De todos modos, no estoy seguro de que uno debe esperar varias categorías concretas de forma natural se completa subcategorías de Gato-el-1-de la categoría o Gato-el-2-de la categoría.