Yo siempre he usado el método de los multiplicadores de Lagrange con la confianza ciega que va a dar los resultados correctos cuando la optimización de problemas con restricciones. Pero me gustaría saber si alguien puede ofrecer o recomendar una derivación del método de la física nivel de licenciatura que se pueden resaltar sus limitaciones, si las hubiera.
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Lorin Hochstein
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Multiplicadores de Lagrange se utilizan para obtener el máximo de una función de $f(\mathbf{x})$ sobre una superficie $\{ \mathbf{x}\in\mathbb{R}^n\mid g(\mathbf{x}) = 0\}$ (yo uso "de superficie", pero si es un 2-dimensional, 1-dimensional, o lo que sea-dimensiones del objeto dependerá de la $g$ e las $\mathbb{R}^n$ que estamos tratando).
El gradiente de $f$, $\nabla f$, apunta en la dirección de mayor crecimiento de $f$. Si queremos encontrar el mayor valor de $f$ a lo largo de $g$, entonces necesitamos la dirección de mayor crecimiento sea ortogonal a $g$; de lo contrario, moviéndose a lo largo de $g$ "captura" que parte de ese aumento y $f$ no va a alcanzar su máximo entre los $g$ en ese punto (esto es similar al hecho de que en una variable cálculo, la derivada debe ser $0$ al máximo, de lo contrario, moviendo un poco aumentará en una dirección va a aumentar el valor de la función).
En orden para $\nabla f$ a ser perpendicular a la superficie, debe ser paralela a la del gradiente de $g$; por lo $\nabla f$ debe ser un escalar varios de $\nabla g$. Así que esto equivale a encontrar una solución para el sistema de \begin{align*} \nabla f(\mathbf{x}) &= \lambda \nabla g(\mathbf{x})\\ g(\mathbf{x}) &= 0 \end{align*} por tanto $\mathbf{x}$$\lambda$.
Añadido. Ese punto no está garantizado a ser un máximo o un mínimo; puede ser también un punto de silla, o nada en absoluto, tanto como en el de una variable de caso, los puntos de $f'(x)=0$ no están garantizados para ser los extremos de la función. Otra limitación obvia es que si la superficie de la $g$ no es diferenciable (no tiene una bien definida gradiente), entonces usted no puede incluso configurar el sistema.
