Encontrar la fórmula general para $a_{n+1}=2^n a_n +4$, donde $a_1=1$.

Question

Problema:

1. Encontrar la fórmula general para $a_{n+1}=2^n a_n +4$ donde $a_1=1$.
2. Encontrar la suma de su primera $2n$ términos con subíndice impar.

Mi esfuerzo:

• A mí me parece que $a_{n+1} / 2^{(n+1)^2/2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}a_n/2^{n^2/2} +4/ 2^{(n+1)^2/2}$, $b_{n+1}=\dfrac{1}{2^{1/2}} b_{n} + \dfrac{1}{2^{(n+3)(n-1)/2}}$ donde $b_n=a_n/2^{n^2/2}$. Pero parece difícil lidiar con el último término.
• Los primeros diez $a_n$ {1, 6, 28, 228, 3652, 116868, 7479556, 957383172, 245090092036, 125486127122436}, que no sigue ninguna regla próxima.
• Escribir la secuencia en forma binaria, me parece {1, 110, 11100, 11100100, 111001000100, ...} que es generalmente en un 1 2*0 1 3*0 1 4*n ... patrón (aparte de los primeros). Así que muy sospechoso que no hay forma cerrada de la expresión. Pero, ¿cómo demostrarlo?

Answer 1

Aquí está una solución por sustitución:\begin{align} a_1&=1\\ a_2&=2^1+4\\ a_3&=2^{1+2}+4(1+2^2)\\ a_{1+3}&=2^{1+2+3}+4(1+2^3+2^{3+2})\\ a_{1+4}&=2^{1+2+3+4}+4(1+2^4+2^{4+3}+2^{4+3+2})\\ a_{1+5}&=2^{1+2+3+4+5}+4(1+2^5+2^{5+4}+2^{5+4+3}+2^{5+4+3+2})\\ a_{1+6}&=2^{1+2+3+4+5+6}+4(1+2^6+2^{6+5}+2^{6+5+4}+2^{6+5+4+3}+2^{6+5+4+3+2})\\ ...\\ a_{1+n}&=2^{\sum_{j=1}^nj}+4(1+\sum_{j=1}^{n-1}2^{\sum_{k=j+1}^nk}) \end {Alinee el} debo simplificar esta expresión última... pero no he podido... :-)

Answer 2

\begin{align*} a_{n+1}&=2^{n}a_{n}+4\\&=2^{n+(n-1)}a_{n-1}+4\cdot 2^{n}+4\\&=2^{n+(n-1)+(n-2)}a_{n-2}+ 4\cdot 2^{n+(n-1)} + 4\cdot 2^n + 4\\&=2^{n(n+1)/2}+4(1+\sum_{j=0}^{n-1} 2^{\sum_{k=j+1}^n k})\\&=2^{n(n+1)/2}+4(1+\sum_{j=0}^{n-1} 2^{n(n+1)/2-j(j+1)/2})\\&=2^{n(n+1)/2}+4(1+2^{n(n+1)/2}\sum_{j=0}^{n-1} 2^{-j(j+1)/2}) \end{align*}

No estoy seguro de cómo evaluar esta última suma. ¿Tal vez alguien puede ayudar?

Answer 3

Puede proceder al revés para "adivinar" la solución y luego probarlo correctamente por inducción. Quiero decir: $a_n=2^{n-1}a_{n-1}+4=2^{n-1}(2^{n-2}a_{n-2}+4) + 4=2^{(n-1)+(n-2)}a_{n-2}+4*2^{n-1}+4=\dots$

Haciendo esto que se puede ver como se verá cuando usted tiene $a_1$ $a_{n-2}$ (usted puede hacer unos pasos si es necesario). Una vez hecho, sólo tienes que simplificarlo, luego probar por inducción si usted quiere ser realmente riguroso.