¿Por qué?

Question

Que $A,B$ ser radio espectral, que es el valor propio superior de una matriz de dos matrices, $\rho$. Descubrí que %#% $ #% pero no pude encontrar la razón.

Por cierto, todos los que había probado eran $$\rho(AABABB)=\rho(ABAABB).$ matrices positivas. Y conozco el hecho $2\times2$, pero parece que esta propiedad no es suficiente para esta declaración.

Answer 1

Su declaración es verdadera para todos los $2\times2$ matrices (positivo o no). Recordemos que la matriz de seguimiento de la matriz producto es invariante bajo permutación cíclica. Deje $\renewcommand{\tr}{\operatorname{tr}}t=\tr(AB)=\tr(BA)$$d=\det(AB)=\det(BA)$. Entonces \begin{align} \renewcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \tr(AABABB) &= \tr[(AB)^2 BA] = \tr[(tAB-dI)BA] = \tr(tAABB - dAB),\\ \tr(ABAABB) &= \tr[(BA)^2 AB] = \tr[(tBA-dI)AB] = \tr(tAABB - dAB). \end{align} Por lo tanto los dos productos de matriz tienen las mismas huellas. Obviamente tienen idénticos determinantes demasiado. Así, por Cayley-Hamilton teorema, tienen idénticos a los espectros y a su vez idénticos espectral de los radios.

Supongo que la afirmación no es cierta para el tamaño de las matrices, pero no tengo tiempo para realizar cualquier computacional de la prueba.

Answer 2

Aquí está una respuesta negativa menos satisfactoria con la octava:

octave:1> a=rand(3,3)
a =

   0.853184   0.968858   0.369978
   0.995402   0.194116   0.449798
   0.373102   0.045246   0.894742

octave:2> b=rand(3,3)
b =

   0.60655   0.11672   0.90867
   0.30900   0.89411   0.17607
   0.14202   0.94938   0.92741

octave:3> abs(eig(a*a*b*a*b*b))
ans =

   23.223839
    0.035014
    0.034103

octave:4> abs(eig(a*b*a*a*b*b))
ans =

   22.749277
    0.032287
    0.037755