Ideales de anillos de grupos no semi-simples.

Question

Trabajé durante mucho tiempo en anillos de grupos complejos y anillos de grupos complejos retorcidos. En esos casos el álgebra es semi-simple y su estructura se entiende bien a partir de la descomposición en representaciones irreducibles (proyectivas en el caso retorcido). Por ejemplo

$$\mathbb{C}S_3\cong \mathbb{C}\oplus \mathbb{C}\oplus M_2(\mathbb{C}).$$

Ahora estoy intentando tratar un caso no simple en el que el grupo es no conmutativo (en el caso conmutativo es mucho más fácil).

Ahora, estoy atascado en el siguiente ejemplo.

Dejemos que $$G=C_7\rtimes C_3,$$ donde la acción de $C_3$ en $C_7$ es enviando su generador $\sigma$ a $\sigma ^4$ .

Describa (lo mejor que pueda) la estructura del anillo del grupo $$\mathbb{F}_3G.$$

Aquí el anillo del grupo no es semi-simple. Sin embargo, estoy tratando de encontrar una cadena máxima (longitud) de ideales $I_0,I_1,\ldots ,I_k$ tal que $$\{0\}=I_0\subseteq I_1 \subseteq I_2 \subseteq \ldots \subseteq I_k=\mathbb{F}_3G.$$

Hasta ahora no he hecho ningún progreso.

Gracias de antemano por cualquier ayuda.

Answer 1

Para entender la estructura explícita de las álgebras de grupo como ésta, una idea útil es la de un anillo de grupo sesgado, que es un análogo en teoría de los anillos de un producto semidirecto.

Dejemos que $G$ sea un grupo que actúa por automorfismos de anillo sobre un anillo $A$ . Entonces los elementos del anillo del grupo oblicuo $A\ast G$ son sumas finitas formales $\sum_{g\in G}a_gg$ con $a_g\in A$ con la multiplicación que sigue a la regla de que $gag^{-1}$ es el resultado de actuar por $g$ en $a$ , para $g\in G$ y $a\in A$ . Así, por ejemplo, si un grupo $G$ actúa sobre otro grupo $H$ induciendo una acción sobre el álgebra de grupo $kH$ para cualquier campo $k$ entonces el álgebra de grupo $k[H\rtimes G]$ del producto semidirecto es el mismo que el del álgebra de grupos sesgados $(kH)*G$ .

Dos casos especiales bastan para entender el álgebra de grupo de la cuestión.

En primer lugar, si $G$ actúa trivialmente en un campo $k$ entonces claramente $k\ast G$ es sólo el álgebra normal del grupo $kG$ .

En segundo lugar, si un grupo finito $G$ de orden $n$ actúa con fidelidad en un campo $K$ con campo fijo $k$ Así que $[K:k]=n$ entonces $K\ast G$ actúa por $k$ -endomorfismos lineales en $K$ por $$\left(\sum_{g\in G}\lambda_gg\right)(\mu)=\sum_{g\in G}\lambda_gg(\mu),$$ induciendo un mapa de $k$ álgebras $$K\ast G\to\operatorname{End}_k(K)\cong M_n(k)$$ que es inyectiva ya que el conjunto de automorfismos de campo de un campo $K$ es linealmente independiente sobre $K$ y, por tanto, un isomorfismo considerando las dimensiones.

Volviendo al ejemplo de la pregunta, $\mathbb{F}_3C_7\cong\mathbb{F}_3\times\mathbb{F}_{3^6}$ como $\mathbb{F}_3$ -(esto se deduce del hecho de que $\mathbb{F}_{3^6}$ es la menor extensión de $\mathbb{F}_3$ que contiene una raíz séptima primitiva de $1$ ), y $C_3$ actúa trivialmente sobre el primer factor y fielmente sobre el segundo (con campo fijo $\mathbb{F}_9$ ), por lo que $$\mathbb{F}_3[C_7\rtimes C_3]\cong (\mathbb{F}_3\ast C_3)\times(\mathbb{F}_{3^6}\ast C_3) \cong\mathbb{F}_3C_3\times M_3(\mathbb{F}_9).$$

Answer 2

No sé mucho sobre este tema, pero hice un cálculo rápido en Magma sobre $A = {\mathbb F}_3G$ . Parece ser una suma directa de un álgebra simple de dimensión $18$ y un álgebra uniseriada de dimensión $3$ con $3$ factores de composición triviales. Si se hace esto sobre el campo de orden $9$ entonces el $18$ -El álgebra de dimensiones se divide en una suma directa de dos $9$ -dimensionales.

Estoy seguro de que un experto en la teoría de la representación modular podría explicar todo esto. Los módulos proyectivos indecomponibles consisten en un $3$ -con tres consituyentes triviales y un módulo irreducible $6$ -modal que se divide por la mitad sobre ${\mathbb F}_9$ .