Factorización de un polinomio cúbico

Question

He estado tratando de entender cómo

${x^3-12x+9}$

factores a

$(x-3) (x^2+3 x-3)$

¿Qué regla de factorización sigue esto? El resultado neto parece ser similar al que se obtiene mediante el patrón de factorización suma/diferencia de cubos, pero los signos son diferentes.

Además, ¿qué tipo de problema es este, así que puedo hacer búsquedas mejores y más relevantes para la ayuda en futuras preguntas. ¿Es un trinomio cúbico?

Answer 1

Por el Teorema del cero racional todas las raíces racionales de $x^{3}-12x+9$ debe tener un numerador que sea un factor de $9$ y un denominador que es un factor de $1$ . Por lo tanto, tienen que ser de la forma $\frac{9}{1}=9$ o $\frac{3}{1}=3$ . Sea $f(x)=x^{3}-12x+9$ . Desde $f(9)=630$ y $f(3)=0$ , $3$ es una raíz de $f(x)$ . Por lo tanto, se puede factorizar como

$x^{3}-12x+9=(x-3)\left( ax^{2}+bx+c\right) =ax^{3}+\left( b-3a\right) x^{2}+\left( c-3b\right) x-3c$

Comparando coeficientes obtenemos

$a=1,b-3=0\iff b=3,-3c=9\iff c=-3$ .

Entonces

$x^{3}-12x+9=(x-3)\left( x^{2}+3x-3\right) $ .

PS. O podríamos aplicar La regla de Ruffini para hallar los coeficientes de $ax^{2}+bx+c$ .

PPS. Como comenta el usuario1827 "El teorema del cero racional" también permite " $1/1=1$ y $-9,-3,-1$ . Pero no son ceros".

Por supuesto, ya que $f(3)=0$ podemos factorizar $f(x)$ inmediatamente, sin tener en cuenta todas las posibilidades restantes.

Answer 2

No es un caso especial de ninguna regla general de factorización (excepto quizás la regla Prueba de la raíz racional ).
Sin embargo, una forma fácil ad-hoc de derivar la factorización es observar

$\rm\quad\quad\quad\ f(x) + 3\:(x-3)\ =\ x\: (x^2 - 9) $

Así $\rm\ \ f(x)\ =\ (x-3)\ (x\: (x+3) - 3)$

Answer 3

Una forma de verlo es que $x=3$ es una raíz de $x^3 - 12x + 9$ . Así que $(x-3)$ será un factor (por el Teorema del factor ).

Ahora puedes intentar conseguir $x-3$ de alguna manera.

Una forma de hacerlo es reescribir

$$x^3-12x + 9 = x^3 - (3^3 - 3^3) - 12(x - 3+3) + 9$$ $$ = x^3 - 27 + 27 - 12(x - 3) - 36 + 9 = x^3 - 27 - 12(x-3) + (9 -36 + 27)$$ $$ = (x-3)(x^2+3x+9) - 12(x-3) = (x-3)(x^2+3x-3) $$

Aquí utilizamos el hecho de que $x^3 - a^3 = (x-a)(x^2 + ax + a^2)$

En general, si $r$ es una raíz de $f(x) = a_{n}x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_{0}$ entonces $f(x) - f(r) = f(x)$ nos da una forma de factorizar $f(x)$ como $(x-r)g(x)$ .

$$f(x) = a_{n}x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_{0} - (a_{n}r^{n} + a_{n-1}r^{n-1} + \dots +a_{0})$$

$$ = a_{n}(x^n - r^n) + a_{n-1}(x^{n-1} - r^{n-1}) + \dots + a_{1}(x-r)$$

Al igual que $x^3 - a^2 = (x-a)(x^2 + ax + a^2)$ tenemos que

$$x^n - r^n = (x-r)(x^{n-1} + rx^{n-1} + \dots + r^{n-1})$$

y así

$$f(x) = (x-r) (a_{n}(x^{n-1} + rx^{n-2} + \dots + r^{n-1}) + a_{n-1}(x^{n-2} + \dots +r^{n-1}) + \dots + a_1)$$

Una vez que conozcamos una raíz, también podemos probar a utilizar División larga polinómica para obtener el otro factor.

Para los cúbicos, las raíces se pueden encontrar sin necesidad de adivinar. Mira esto: Método Cardano .

¿Eso ayuda?

Answer 4

Para factorizar cualquier cúbica, debes encontrar al menos una raíz. Usted acknolwed que $3$ es una raíz, por lo tanto $x=3$ y $x-3=0$ . Y como $x-3$ es un factor de $x^3-12x+9$ dividir el polinomio de acuerdo con $x-3$ y el factor de la siguiente manera: \begin{align} x^3-12x+9 &= x^3-3x^2+3x^2-9x-3x+9\\ &=x^2(x-3)+3x(x-3)-3(x-3)\\ &=(x-3)(x^2+3x-3) \end{align}

Answer 5

Aunque ya se han mostrado respuestas posiblemente mejores, no he podido resistirme a mencionar la fórmula ya preparada (de forma cerrada) para este caso.

En general, para factorizar un polinomio es necesario conocer al menos una raíz (valor en el que el polinomio se hace cero).

Si sabe que las raíces son $r1, r2$ y $r3$ se puede escribir la ecuación como $(x-r1)(x-r2)(x-r3)$ .

Sería estupendo poder encontrar la raíz mediante una inspección, pero esto no es posible para todos nosotros. Afortunadamente, existen fórmulas ya preparadas.

Para polinomios de grado dos existe Fórmula cuadrática-Wiki Ref. .

Para el grado tres (como en su caso), existe Forma cerrada para el polinomio de grado 3-Cardano . Esta fórmula no se suele utilizar quizá porque es difícil de aplicar y puede dar resultados no muy precisos (cuando se utiliza a máquina) debido a las raíces cuadradas. pero da la respuesta mecánicamente sin requerir demasiados conocimientos de álgebra.

La fórmula proporciona un valor para cada una de las 3 raíces de la ecuación cúbica.

En tu caso, si aplicas la fórmula obtienes $\left(x-3\right)\left(x+3.79134\right)\left(x-0.79134\right)$ . Las raíces tienen una precisión de 3 decimales.

También existen otros métodos, como el de Newton y el de Cardano.