¿Cuáles son algunas definiciones alternativas de la adición de vectores y la multiplicación escalar?

Question

Mientras enseñaba el concepto de espacios vectoriales, mi profesor mencionó que la suma y la multiplicación no son necesariamente lo que normalmente se denomina suma y multiplicación, sino cualquier otra función que cumpla con los ocho axiomas necesarios para la definición de un espacio vectorial (por ejemplo, asociatividad, conmutabilidad de la suma, etc.). ¿Existe algún espacio vectorial ampliamente utilizado en el que se empleen funciones alternativas como la adición/multiplicación?

Answer 1

Mi ejemplo favorito es el conjunto de subconjuntos de un conjunto bajo la operación de diferencia simétrica (también conocido como bitwise XOR). Esto forma un espacio vectorial sobre el campo finito $ \mathbb {F}_2$ . Este ejemplo es importante en la informática, la teoría de la codificación, la combinatoria, ...

Answer 2

Este ejemplo no es ciertamente "ampliamente usado", pero creo que vale la pena pensarlo de todos modos. Esta respuesta viene de un post de John Goodrick: http://mathoverflow.net/questions/9402/pedagogical-question-about-linear-algebra

Voy a citar la totalidad de su puesto aquí en caso de que no te apetezca hacer clic en el enlace (y ya que no he hecho ningún trabajo por mi cuenta, voy a hacer este puesto CW)

Se podría intentar dar el siguiente ejemplo: el conjunto de todos los números reales positivos, considerados como un espacio vectorial sobre el campo R, con la adición vectorial dada por la multiplicación y la multiplicación escalar dada por la toma de exponentes.

Como primer paso, podrías verificar que esto satisface algunos de los axiomas del espacio vectorial, y luego dejar que los estudiantes comprueben el resto de ellos (digamos, como tarea). Luego, podrían hacer preguntas como, "¿cuál es la dimensión de este espacio vectorial?" o, "den un ejemplo de una transformación lineal (no trivial) de este espacio en R^3".

Answer 3

¿Cómo llamas "normalmente" a la suma y la multiplicación?

Sólo esas operaciones con números reales, o todos tipo de suma y multiplicación "derivada" de las conocidas operaciones con números reales, o que "se parecen" a estas operaciones?

Porque, en el primer caso, tienes un montón de espacios de vectores elementales y ampliamente utilizados con operaciones que son no los de los números reales:

1. $ \mathbb {R}^2$ el conjunto de pares ordenados de números reales $(x,y)$ es un espacio vectorial real, con la suma y la multiplicación definidas como $(x,y) + (u,v) = (x+u, y+v)$ y $ \lambda (x,y) = ( \lambda x , \lambda y)$ . Estas operaciones se definen usando la suma y multiplicación "normal" de números reales, pero son no la suma y multiplicación "normal" de los números reales sólo porque $(x,y)$ es no un número real.
2. ${ \cal C}^0 ( \mathbb {R}, \mathbb {R})$ el conjunto de funciones continuas $f: \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$ es un espacio vectorial real, con la suma y la multiplicación definidas en el sentido de los puntos, es decir $(f+g)(x) = f(x) + g(x)$ y $( \lambda f)(x) = \lambda f(x)$ . Una vez más, estas sumas y multiplicaciones se definen utilizando la suma y multiplicación "normal" de los números reales, pero no son la suma y multiplicación "normal" de los números reales por la misma razón.
3. $ \mathbb {Z}/2 \mathbb {Z}$ el conjunto de números enteros mod. 2, es un $ \mathbb {Z}/2 \mathbb {Z}$ -espacio vectorial, con suma y multiplicación $ \widetilde {m} + \widetilde {n} = \widetilde {n+m}$ y $ \widetilde { \lambda } \widetilde {m} = \widetilde { \lambda m}$ donde $ \widetilde {m}$ denota la clase de $m$ mod 2. Lo mismo digo.
4. $ \mathbb {R}(x)$ el campo de las funciones racionales $ \frac {p(x)}{q(x)}$ donde $p(x), q(x) \in \mathbb {R}[x]$ son polinomios, $q(x) \neq 0$ es un $ \mathbb {R}(x)$ -espacio vectorial, con suma y multiplicación $ \frac {p(x)}{q(x)} + \frac {r(x)}{s(x)} = \frac {p(x) s(x) + r(x) q(x)}{q(x)s(x)} $ y $ \frac {p(x)}{q(x)} \frac {r(x)}{s(x)} = \frac {p(x)r(x)}{q(x)s(x)}$ . Lo mismo digo.
5. $ \mathbb {C}$ el conjunto de números complejos, es un $ \mathbb {C}$ -espacio vectorial, con la suma y multiplicación de números complejos. Lo mismo digo.
6. $ \mathbb {K}^n$ el conjunto de familias ordenadas $(x_1, \dots , x_n)$ de elementos de cualquier campo $ \mathbb {K}$ es un $ \mathbb {K}$ -espacio vectorial, con suma y multiplicación definidas como en el ejemplo 1. Los ejemplos 3, 4 y 5 son casos particulares de este con $n=1$ y $ \mathbb {K} =$ $ \mathbb {Z}/2 \mathbb {Z}$ , $ \mathbb {R}(x)$ y $ \mathbb {C}$ respectivamente. El ejemplo 1 es también un caso particular, con $n=2$ y $ \mathbb {K} = \mathbb {R}$ . Suma y multiplicación en $ \mathbb {K}$ puede no tener nada en común con las operaciones con números reales.

Answer 4

Muchas de las operaciones que se encuentran comúnmente en los espacios vectoriales, como la aritmética modular, la convolución funcional o incluso la aritmética p-ádica, están relacionadas en última instancia con la suma y la multiplicación con las que usted está familiarizado. Una excepción interesante es el campo de Conway de nimbers (que es efectivamente un espacio vectorial unidimensional). No diría que es "ampliamente utilizado", pero es lo suficientemente conocido como para calificar como un ejemplo genuino.

Referencias: http://mathoverflow.net/questions/6455/nimber-multiplication

http://en.wikipedia.org/wiki/Surreal_number (los nimmers forman un subcampo de los números surrealistas).