Simple valor propio y vector propio de $\{\sin(|i-j|x)\}_{1\le i,j\le5}$

Question

Que $M=\begin{bmatrix} 0&\sin(x)&\sin(2x)&\sin(3x)&\sin(4x) \\\sin(x)&0&\sin(x)&\sin(2x)&\sin(3x) \\\sin(2x)&\sin(x)&0&\sin(x)&\sin(2x) \\\sin(3x)&\sin(2x)&\sin(x)&0&\sin(x) \\\sin(4x)&\sin(3x)&\sin(2x)&\sin(x)&0 \end{bmatrix}$.

Pregunta 1. (de 3) el ejercicio pide para un fácil valor propio y vector propio, pero después de haber buscado una hora intentado algunos trucos de Chebichev, no he encontrado nada.

En casos simples (n = 1, n = 2), o bien no veo ninguna progresión lógica.

Por cierto: 2 se trata de dar su polinomio característico, por lo que no se supone que use aquí supongo.

Answer 1

Su matriz es real, simétrica, persymmetric, centrosimétrico, Toeplitz, y traceless. Deje $J$ ser la tapa de la matriz de ceros excepto por 1 a lo largo de la contra-diagonal). Es sencillo demostrar que los vectores propios son pares o impares (con respecto a los elementos sobre la media del vector). Por lo tanto, habrá 3 vectores propios, y 2 impar vectores propios. La reducción de la $2\times2$ problema de la extraña vectores propios es $$ \begin{bmatrix} -\sin4x & \sin x-\sin3x \\ \sin x-\sin3x & -\sin2x \end{bmatrix} v = \lambda v$$ Usted puede de forma directa a encontrar los autovalores y autovectores de esta $2\times 2$ matriz. Usted puede hacer algo similar con el incluso vectores propios, pero que tienen un $3x3$ matriz. Para la segunda parte del problema, se puede ver que el 5º grado de la ecuación característica deben factor en el producto de una ecuación cuadrática y cúbica, con base en los argumentos anteriores. Nada de esto parece como un "fácil" de respuesta, por lo que probablemente no es el enfoque correcto.

Una metodología analítica, la notificación de la matriz $M$ es la parte imaginaria de la discreta de Fourier operador de convolución de la orden de 5 de una función delta. No estoy seguro de si esto le ayuda.