una tarea de integración

Question

Argh yo tenía una foto de esto, pero no tiene suficiente reputación para cualquier cosa aquí. hizo como que no entiendo cómo insertar la matemática de la notación aquí.

Si $f(x) = \int_0^{g(x)}(1+t^3)^{-1/2} dt$ donde $g(x) = \int_0^{\cos x}(1+\sin (t^2)) dt$

Tengo que encontrar a $f'(\pi/2)$

Sé que tiene algo que ver con la sustitución y he tratado de integración por partes y cosas como que demasiado, pero no su trabajo. Creo que hay algo acerca de la forma en que las preguntas que le han preguntado eso no es ayudar, de todos modos esa es la primera pregunta.

habrá más en el futuro, estoy seguro de que.

Answer 1

Tenga en cuenta que $g(x) = \tilde{g}(y) = \int_0^y(1+\sin (t^2)) dt$, donde $y=\cos(x)$. Por otra parte $f(x)=\tilde{f}(z) =\int_0^z(1+t^3)^{-1/2} dt$, donde $z=\tilde{g}(y)$. Así $f(x) = \tilde{f}(\tilde{g}(\cos(x))) = (\mathrm{notation}) = \tilde{f}(z(y(x)))$.

$$f' = \frac{df}{dx} = \frac{d\tilde{f}(z(y(x)))}{dx} = \frac{d\tilde{f}}{dz} \cdot \frac{dz}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} = (1 + z^3)^{-1/2} \cdot (1 + \sin(y^2)) \cdot (-\sin(x)) = (1 + 0^3)^{-1/2} \cdot (1+0) \cdot (-1) = -1$ $ (tenga en cuenta que $z=g(x)=\tilde{g}(\cos(\pi/2))$ es una parte integral de $0$ $0$, que $z=g(x)=0$).

Answer 2

Para hacer el trabajo más claro, poner

$$h(x) =\int_0^{x}(1+t^3)^{-1/2} dt$$

$$m(x) = \int_0^{ x}(1+\sin (t^2)) dt$$

$$f(x) = \int_0^{g(x)}(1+t^3)^{-1/2} dt$$

$$g(x) = \int_0^{\cos x}(1+\sin (t^2)) dt$$

Entonces, tenemos que

$$F(x) = h \circ m \circ \cos(x)$$

Debido a la regla de la cadena podemos resolver esto de la siguiente manera:

$$F'(x) = h' \circ m \circ \cos(x) \cdot (m \circ \cos (x))'$$

$$F'(x) = h' \circ m \circ \cos(x) \cdot (m' \circ \cos (x)) \cdot (\cos (x))'$$

$$F'(x) = h' \circ m \circ \cos(x) \cdot (m' \circ \cos (x)) \cdot (-\sin(x))$$

Así que ahora calcular los instrumentos financieros derivados:

$$h'(x) = (1+x^3)^{-1/2}$$

$$m'(x) =1+\sin(x^2)$$

Ahora estamos listos para conectar $\pi/2$. Tenemos

$$-\sin (\pi/2)=-1$$

$$\cos (\pi/2) = 0 $$

así que

$$m'(0) = 1+\sin (0) = 1$$

Así que para el último que hemos

$$h' \circ m(0) = h'(0) = 1$$

Finalmente, llegamos

$$F'(\pi/2) = -1$$

Answer 3

Escribir $H(t) $ para el primer integrando.

Si $f(x) = \int_0^{g(x)} H(t) \,dt$, $f'(x) $ se define como el límite de$(f(x+h)-f(x))/h$$h\to 0$, por lo que debes calcular $$\lim_{h\to 0} \frac1h \int_{g(x)}^{g(x+h)} H(t)\,dt$$ La integral es la "diferencia entre los límites de los" tiempos "valor promedio"; continua de las $H$ pequeñas y $h$, el valor promedio es de cerca de $H(g(x))$. De modo que la integral está cerca de a $(g(x+h)-g(x)) \cdot H(g(x))$. Todo límite, a continuación, sale a $$\lim_{h\to 0} \frac1h (g(x+h)-g(x)) \cdot H(g(x))= g'(x)\cdot H(g(x)).$$ Por el mismo razonamiento, $g'(x) = (\cos x)'\cdot (1+\sin(\cos(x)^2))$.

Ahora conecte $x=\pi/2$, para obtener el $g'(\pi/2) = (-1) \cdot (1+\sin(0)) = -1$.

Multiplica esto por $H(g(\pi/2))$. $\cos(\pi/2)=0$, por lo $g(\pi/2) = 0$, e $H(g(\pi/2)) = H(0) = 1$.

Por lo que el resultado, si no he calculado mal, es $-1$.