¿Es un espacio del vector de $U = \left\{A \in \mathbb{M}^ {n \times n}(\mathbb{R} ): \ker{A} \cap \text{Im}A = \{\vec{0}\} \right\}$?

Question

Recientemente he tratado de probar o rechazar la hipótesis de que el conjunto de matrices

$$U = \left\{A \in \mathbb{M}^ {n \times n}(\mathbb{R} ): \ker{A} \cap \text{Im}A = \{\vec{0}\} \right\}$$

es un subespacio lineal de $\mathbb{M}^{n \times n}(\mathbb{R})$.

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No me resulta difícil demostrar que el conjunto es multiplicativo: Suponga que el $A \in U$. Sabemos que $\ker{0}\cap \text{Im}0 = \vec{0}$. Así, en el caso de que $\lambda=0$ hemos terminado. Supongamos que $\lambda \neq 0$. De ello se deduce fácilmente que el $\ker{A}=\ker{\lambda A}$ y $\text{Im}A = \text{Im}{\lambda A}$.

Pensé aditividad fue la parte más difícil. No tengo un buen intition cuando se trata de "añadir" lineal mapas. Me pueden ayudar con esto?

Answer 1

Que $A$ ser una simple matriz $\notin U$ $2$, de la dimensión decir $\ker A={\rm im\,} A=\langle e_1\rangle$ donde $e_1=\pmatrix{1\\0}$, tomar por ejemplo $$A:=\pmatrix{0&1\\0&0}$ $ con este ejemplo, $A+I$ $I$ ambos tienen núcleo trivial, así $A+I$ y $I$ se encuentran en $U$ y $A\notin U$, que $U$ no es cerrado bajo adición.