Si V es un espacio vectorial finito de dimensión n y GEnd(V) tal que G genera End(V) lo que significa que cualquier elemento de End(V) es expresable como una combinación lineal de productos de un número de elementos de G, ¿cuál es el mínimo número posible de elementos en G?
Respuesta
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El criterio de irreducibilidad de Burnside establece que una acción de un grupo sobre un espacio vectorial (sobre un campo algebraicamente cerrado) es irreducible si y sólo si la imagen genera $End(V),$ como usted describe. Ahora, como todo grupo simple finito está generado por dos elementos, la respuesta es $2,$ al menos para un campo algebraicamente cerrado.
De hecho, si se mira este archivo de Mathematica encontrará pequeños grupos electrógenos de $SL(n, \mathbb{Z})$ y $Sp(n, \mathbb{Z}).$ Dado que los dos grupos actúan obviamente de forma irreducible, se tienen conjuntos generadores (de álgebra) de $M^{n\times n}$ con dos o tres elementos.
