Significado de Homeomorfismo de "preservación de orientación" de expresión

Question

La única vez que he oído el término "orientación-preservar el mapa" fue en Álgebra Lineal, pero hoy he leído el término de la orientación de la preservación de homeomorphism del círculo en el siguiente contexto: Si un homeomorphism $f$ $S^1$ tiene un racional número de rotación $r$ ($r=\lim_{n\to\infty} \frac{F^n(x)-x}{n}$ donde $F$ es un "levantamiento" de $f$$\mathbb{R}$) y si $f$ es "la orientación de la preservación", entonces todos los periódicos punto de $f$ tiene el mismo período. Mi pregunta es simple:

¿Qué significa (rigurosamente) para un homeomorphism $f$ de la circunferencia $S^1$ a "orientación"preservan?

Gracias de antemano!

Answer 1

Que $p:\Bbb{R} \longrightarrow S^1$ ser el fundamental que cubre el mapa $t \mapsto e^{2\pi i t}$. A continuación, $f$ preserva orientación, si existe un % creciente de Homeomorfismo $g: \Bbb{R} \longrightarrow \Bbb{R}$tal que $p \circ g = f \circ p$, es decir, si se eleva a un Homeomorfismo creciente de $f$ $\Bbb{R}$.

Tenga en cuenta que cualquier Homeomorfismo de $\Bbb{R}$ es necesariamente monótona, por lo que esto da la idea de "conservar y cambiar la orientación" de un Homeomorfismo de $S^1$.

Answer 2

Yo creo que en este contexto de la orientación de la preservación de los medios que $f$ no voltear cartas locales.

Desde $S^1$ $1$- dimensiones del colector, dado un punto de $x$ $S^1$ siempre se puede encontrar barrios $U$ $x$ $V$ $f(x)$ homeomórficos, digamos, $(-1/2,1/2)$ donde $x$ $f(x)$ corresponden a $0$ (en virtud de los respectivos homeomorphisms). Además, hasta la sustitución de $U$ con un pequeño barrio de $x$ podemos asumir que $f(U) \subseteq V$.

Estos homeomorphisms inducir un orden parcial en $U$ $V$ y podemos decir que $f$ es de la orientación de la preservación de a $x$ si $f(y) > f(x)$ por cada $y \in U$ tal que $y > x$. A continuación, $f$ es la orientación de la preservación de la en $S^1$ si lo es en cada punto de $S^1$.