la fórmula de d'alembert

Question

Estoy estudiando el problema de Cauchy para la ecuación de ondas $n=2$; $$\begin{cases}u_{tt}=\alpha^{2} u_{xx}, x \in\mathbb{R}, t>0\\[8pt] u(x,0)=f(x), x\in\mathbb{R}\\[8pt] u_{t}(x,0)=g(x), x\in\mathbb{R} \end{casos}$$

Por dAlembert la fórmula sabemos que

$u(x,t)=\frac{f(x+\alpha t)+f(x-\alpha t)}{2} +\frac{1}{2\alpha}\int^{x+\alpha t}_{x-\alpha t}g(s)ds$

es la única solución del problema anterior. Pero en la prueba, la singularidad de $u$, la segunda mi libro de referencia, está dada por la singularidad de las funciones $f(x)\in C^{2}(\mathbb{R})$ $g(x)\in C^{1}(\mathbb{R}).$

No entiendo esta declaración! Alguien me puede ayudar? muchas gracias.

Answer 1

Tenga en cuenta que $f(x)\in C^{2}(\mathbb{R})$ $g(x)\in C^{1}(\mathbb{R})$ implican $u(x,t)\in C^{2}$. La solución en el punto de $(x, t)$ está determinada únicamente por los valores de $f$ $g$ en el intervalo de $[x-\alpha t,x+\alpha t]$. Este intervalo es el Dominio de Dependencia de la solución en el punto de $(x,t)$.