( Editar: Ahora se publica en MO .)
Eso es:
Para qué enteros positivos $n, k \ge 1$ ¿existe una inmersión $S^{n+k} \to S^k$ ?
El debate en esta pregunta de math.SE lo ha reducido a los dos casos siguientes: o bien
- $n = k-1$ , en cuyo caso $k = 2, 4, 8$ realizado por las fibraciones complejas, cuaterniónicas y octoniónicas de Hopf, o
- $n = 3k-3$ , en cuyo caso $k \ge 4$ está en paz.
Estoy medianamente seguro de que el segundo caso no se da, pero no sé cómo descartarlo.
Esto es lo que puedo mostrar al respecto: tal inmersión da lugar a un haz de fibras lisas $F \to S^{4k-3} \to S^k$ donde $F$ es una variedad cerrada suave y enmarcable de dimensión $3k-3$ . Al tomar las fibras de homotopía se obtiene un mapa $\Omega S^k \to F$ cuya fibra homotópica es $(4k-5)$ -por lo que induce un isomorfismo en la homotopía y en la cohomología hasta el grado $4k-5$ .
Esto determina la cohomología de $F$ como un anillo: $F$ tiene la cohomología de $S^{k-1} \times S^{2k-2}$ . Cuando $k = 2$ Mike Miller demostró que $F$ debe ser, de hecho, homeomorfo a $S^1 \times S^2$ y luego obtiene una contradicción al observar los grupos de homotopía. Cuando $k \ge 4$ también sabemos que $F$ está simplemente conectado.
Aparte de saber si es posible descartar el último caso, también me interesaría un argumento más simple que $k$ debe ser par. El argumento que di pasa por la conjetura topológica de Poincaré y la solución de Adams al invariante de Hopf $1$ problema...
