Evaluar
$$\displaystyle \int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ \log(\cos(x))\log(\sin(x)) \ dx }$$
Un método para hacer esto es la siguiente.$$$$ Considere la posibilidad de : $$\displaystyle F(m,n)=\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ \sin ^{ 2m-1 }{ x } \cos ^{ 2n-1 }{ x } dx } $$
Para resolver este puesto $$\sin^{2}x = t$$ a conseguir nuestros integral como :
$$ \displaystyle F(m,n) =\frac{1}{2} \int _{ 0 }^{ 1 }{ { t }^{ m-1 }{ (1-t) }^{ n-1 }dt }=\frac{\beta (m,n)}{2} $$
Donde $\beta(m,n)$ es la función beta.
$$\displaystyle F(m,n) = \frac { \Gamma (m)\Gamma (n) }{2 \Gamma (m+n) } $$
Por lo tanto tenemos : $$\displaystyle \frac { \Gamma (m)\Gamma (n) }{ \Gamma (m+n) } = 2\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ \sin ^{ 2m-1 }{ x } \cos ^{ 2n-1 }{ x } dx }$$
La primera diferenciación de ambos lados con respecto a $m$ tenemos :
$$\displaystyle \frac { \Gamma (n) }{ ({ \Gamma (m+n)) }^{ 2 } } (\Gamma '(m)\Gamma (m+n)-\Gamma (m)\Gamma '(m+n)) = 4\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ log(sin(x))\sin ^{ 2m-1 }{ x } \cos ^{ 2n-1 }{ x } dx } $$
Mejor escrito como :
$$\displaystyle \frac { \Gamma (m)\Gamma (n) }{ \Gamma (m+n) } (\psi (m)-\psi (m+n))=4\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ log(sin(x))\sin ^{ 2m-1 }{ x } \cos ^{ 2n-1 }{ x } dx }$$
donde $$\psi(x)$$ es la función digamma.
Ahora se diferencian con respecto a $n$ ambos lados, se obtiene :
$$\displaystyle \frac { \Gamma (m)\Gamma (n) }{ \Gamma (m+n) } (((\psi (m)-\psi (m+n))(\psi (n)-\psi (m+n))-\psi '(m+n))$$
$$\displaystyle =8\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ log(sin(x))log(cos(x))\sin ^{ 2m-1 }{ x } \cos ^{ 2n-1 }{ x } dx } $$
Poner $m=n=\dfrac{1}{2}$ para obtener :
$$\displaystyle \frac { { \Gamma }^{ 2 }(1/2) }{ \Gamma (1) } ({ (\psi (1/2)-\psi (1)) }^{ 2 }-\psi '(1))$$
$$\displaystyle =8\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ log(cos(x))log(sin(x))dx } $$
Ahora $$\displaystyle \Gamma (1/2)=\sqrt { \pi } ,\Gamma (1)=1,\psi (1/2)=-\gamma -log(4),\psi (1)=-\gamma ,\psi '(1)=\frac { { \pi }^{ 2 } }{ 6 } $$
Ahora, mi problema era con el primer paso en sí mismo - nunca puedo pensar de ciertas integrales de trabajo en la cual se puede obtener la solución a un problema diferente por completo. Por ejemplo, yo nunca podría haber pensado en iniciar mi intento de con $$\displaystyle F(m,n)=\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ \sin ^{ 2m-1 }{ x } \cos ^{ 2n-1 }{ x } dx } $$
¿Sería posible que alguien por favor, muéstrame cómo evaluar esta Integral mediante la Diferenciación Bajo el Signo Integral? O, al menos, un método que podría empezar con el original de la integral que va a ser evaluada, en vez de partir con otro integral o la generalización? $$$$ Gracias muy, muy mucho su ayuda de antemano!
