Limitar la regla de L'Hopital $\lim_{x\to 0 } \frac {\tan^2x - \arctan^2x}{x^4}$

Question

$$\lim_{x\to 0 } \frac {\tan^2x - \arctan^2x}{x^4}$$

Tengo problemas para calcular el límite anterior. Podría aplicar la regla de L'Hopital 5 veces batallando con varios términos pero debe haber una forma más sencilla de expresar tanx / arctanx de otra forma.

¿Alguien quiere ayudar?

Answer 1

Se pueden utilizar algunos expansiones estándar de Taylor como $x \to 0$ .

Tenemos $$ \tan x =x+\frac{x^3}3+O(x^5) $$ dando $$ \tan^2 x =x^2+\frac{2x^4}3+O(x^6) $$ y $$ \arctan x =x-\frac{x^3}3+O(x^5) $$ dando $$ \arctan^2 x =x^2-\frac{2x^4}3+O(x^6). $$ Entonces

$$ \frac{\tan^2 x-\arctan^2 x}{x^4}=\frac43+O(x^2) $$

y

$$ \lim_{x \to 0}\frac{\tan^2 x-\arctan^2 x}{x^4}=\frac43. $$

Answer 2

Obsérvese que este límite no puede resolverse sin utilizar las series de Taylor o la regla de L'Hospital. Olivier Oloa ya presentó una solución mediante series de Taylor y yo presento una con la Regla de L'Hospital.

Obsérvese que si se desea aplicar la Regla de L'Hospital para resolver cualquier límite hay que intentar aplicarla sólo cuando sea necesario. Así pues, primero hacemos uso de la simplificación algebraica y de los límites estándar y después utilizamos la Regla de L'Hospital.

Tenemos \begin{align} L &= \lim_{x \to 0}\frac{\tan^{2}x - \arctan^{2}x}{x^{4}}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{\tan x + \arctan x}{x}\cdot\frac{\tan x - \arctan x}{x^{3}}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\left(\frac{\tan x}{x} + \frac{\arctan x}{x}\right)\cdot\frac{\tan x - \arctan x}{x^{3}}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\left(1 + 1\right)\cdot\frac{\tan x - \arctan x}{x^{3}}\notag\\ &= 2\lim_{x \to 0}\frac{\tan x - x + x - \arctan x}{x^{3}}\notag\\ &= 2\lim_{x \to 0}\frac{\tan x - x}{x^{3}} + \frac{x - \arctan x}{x^{3}}\notag\\ &= 2\lim_{x \to 0}\frac{\tan x - x}{x^{3}} + 2\lim_{x \to 0}\frac{x - \arctan x}{x^{3}}\tag{1}\\ &= 2\lim_{x \to 0}\frac{\tan x - x}{x^{3}} + 2\lim_{x \to 0}\frac{x - \arctan x}{\arctan^{3}x}\cdot\frac{\arctan^{3}x}{x^{3}}\notag\\ &= 2\lim_{x \to 0}\frac{\tan x - x}{x^{3}} + 2\lim_{x \to 0}\frac{x - \arctan x}{\arctan^{3}x}\cdot 1\notag\\ &= 2\lim_{x \to 0}\frac{\tan x - x}{x^{3}} + 2\lim_{t \to 0}\frac{\tan t - t}{t^{3}}\text{ (putting }t = \arctan x)\notag\\ &= 4\lim_{x \to 0}\frac{\tan x - x}{x^{3}}\tag{2}\\ &= 4\lim_{x \to 0}\frac{\sec^{2}x - 1}{3x^{2}}\text{ (via L'Hospital's Rule)}\notag\\ &= \frac{4}{3}\lim_{x \to 0}\frac{\tan^{2}x}{x^{2}}\notag\\ &= \frac{4}{3}\notag \end{align} Pasos de $(1)$ a $(2)$ se basan en el supuesto de que el límite $\lim_{x \to 0}\dfrac{\tan x - x}{x^{3}}$ existe y esta suposición se justifica en los pasos posteriores a $(2)$ vía L'Hospital's Rule.

Obsérvese que la Regla de L'Hospital sólo se ha utilizado una vez (en comparación con lo que menciona OP en su post) y el límite estándar $$\lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x} = 1$$ o equivalentemente $$\lim_{x \to 0}\frac{\arctan x}{x} = 1$$ en la solución anterior.