Medida de coordinar la libertad para establecer la métrica de los componentes a lo largo de una ruta de acceso espacio-tiempo

Question

Si se describe el espacio-tiempo con un colector de Lorenz, siempre es posible elegir un sistema de coordenadas tal que en cualquier punto en particular $x^\alpha$, las componentes de la métrica son: $$ g_{\mu\nu}(x^\alpha) = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 &-1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 &-1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &-1 \end{array} \right) $$

Pero nuestra libertad es mucho mayor que esto. En la curva el espacio-tiempo, el principio de equivalencia sugiere que podemos elegir coordenadas tal que la medida es de que forma para cada punto a lo largo de un tiempo determinado-como geodésica. Y en el plano espacio-tiempo, podemos ver un ejemplo claro de que no necesita ni siquiera ser una geodésica, para la Rindler métrica tiene que formar en cada punto de un particular worldline, con una constante adecuada de aceleración. Tengo una sensación de que esto es posible para cualquier momento-como worldine.

Así que mi pregunta es:

Dado un sistema de coordenadas y métrica de una de Lorenz colector y un tiempo-como worldline en este espacio-tiempo, es siempre posible encontrar una transformación de coordenadas tal que para cada punto en el mundo de la línea de las componentes de la métrica en este sistema de coordenadas son (1,-1,-1,-1) en la diagonal?

Me doy cuenta de que incluso para la simplificación de los casos (por decir una geodésica en el fondo de Schwarzschild), un sistema de coordenadas puede ser increíblemente complicado. Así que si alguien crea un increíblemente complicado construcción explícita, por favor, también muestran que la solución a las ecuaciones de la instalación de existir con algún tipo de existencia de la prueba.

Este principio comenzó tratando de encontrar un local de coordenadas del gráfico para un observador en caída libre hacia un blackhole, pero me di cuenta de que no sabía una buena forma matemática de representar a coordinar la libertad a que me refiero. Finalmente terminé reflexionar sobre esta pregunta actual. Así que incluso si usted no puede dar una respuesta completa, pero puede sugerir algunas herramientas matemáticas o donde leer sobre ellos, cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Lo que quieres son Fermi geodésico de coordenadas.

Desde algún punto inicial $p$ en un timelike geodésica con cuatro-la velocidad de la $u$, tome el tiempo apropiado $\tau$ como el tiempo de coordenadas y seleccione tres vectores ortonormales $\{{\mathbf{e}}_\hat{\alpha}\}$ que sirven como una base para el complemento ortogonal de la línea geodésica del vector tangente a $p$. Paralelo-el transporte de los vectores espaciales a lo largo de la línea geodésica por la resolución de la ecuación $$\nabla_u \mathbf{e}_{\hat\alpha} = 0\text{,}$$ donde la métrica de compatibilidad de la de Levi-Civita de la conexión garantiza que los cuatro vectores de la base estancia ortonormales a lo largo de los puntos de la línea geodésica.

En cada una de las $\tau$, tomar la $3$-colector de spacelike geodesics va ortogonalmente a la timelike geodésica. En este colector, podemos construir la costumbre de Riemann normal de coordenadas a través de nuestro ortonormales espacial de los vectores: básicamente, elegir un vector unitario $\alpha{\mathbf{e}}_\hat{1} + \beta{\mathbf{e}}_\hat{2} +\gamma{\mathbf{e}}_\hat{3}$, enviar una geodésica espacial y con la etiqueta de cada punto con coordenadas $(\tau,s\alpha,s\beta,s\gamma)$ donde $s$ es la distancia a lo largo de la geodésica espacial.

En la línea geodésica caso, no sólo la métrica de Minkowski forma en los puntos de la línea geodésica, pero los símbolos de Christoffel también desaparecer de allí. En general, también podemos usar la de Fermi-Walker transporte a considerar la posibilidad de un observador acelerado que también es de rotación. Esto se describe, por ejemplo, en MTW §13.6. Esto hace que el los símbolos de Christoffel ha $\Gamma^{\hat{0}}_{\hat{j}\hat{0}} = \Gamma^{\hat{j}}_{\hat{0}\hat{0}} = a^\hat{j}$, las componentes de la aceleración de cuatro vectores, así como un término correspondiente a la rotación de la calidad de observador en $\Gamma^{\hat{j}}_{\hat{k}\hat{0}}$.

Cosas que usted también podría estar interesado en: tétradas y Gullstrand-Painlevé coordenadas para el espacio-tiempo de Schwarzschild que corresponden a la estructura de campo de Lemaître observadores libremente caer desde el reposo en el infinito.