Demostrar la variante de la desigualdad del triángulo que contiene la potencia p-ésima para 0 < p < 1

Question

Perdona si es una pregunta trivial, pero estoy algo atascado con la demostración de la siguiente desigualdad y he estado buscando durante un tiempo:

$\rho \left( \sum\limits_i^n d_i \right) \leq \sum\limits_i^n \;\rho(d_i)\;$ con $\rho(d_k) := |d_k|^p, \quad 0 < p < 1 $ y $ d_i \in \mathbb{R}$ .

Me encontré con esta situación al tratar con un enfoque de regularización basado en la energía. Aunque no espero que esta desigualdad se mantenga para $p > 1$ Básicamente creo que lo hace por $0 < p < 1$ lo que implica que la energía $\rho$ para la suma de todos los $d_i$ es menor que la suma de las energías de los individuos $d_i$ bajo tal cuasi-norma. Intenté demostrarlo para el caso menos general en el que $p := \frac{q}{r}$ es un número racional, elevando ambos lados al $r$ - de la energía:

$\mid\sum\limits_i^n d_i\mid^p \leq \sum\limits_i^n \mid d_i \mid^p \; \Leftrightarrow \; \mid\sum\limits_i^n d_i\mid^q \leq \left( \sum\limits_i^n \mid d_i \mid^p \right)^r = \sum\limits_i^n \mid d_i \mid^{pr} + u = \sum\limits_i^n \mid d_i \mid^{q} + u$ ,

donde $u$ contiene una suma de términos mixtos. A continuación, intenté eliminar el $q$ exponente para poder utilizar de alguna manera la desigualdad del triángulo. Sin embargo, parece que estoy yendo en círculos aquí.

¿Podría alguien darme una pista sobre cómo enfocar mejor esto? ¿Existe alguna desigualdad que pueda utilizar para demostrar esto? Supongo que son conceptos básicos que ya se han estudiado antes, pero no estoy seguro de las palabras clave que debo buscar. Muchas gracias.

Answer 1

Una función $f: \mathbb R \to \mathbb R$ se llama subaditivo si $f(x+y)\le f(x)+f(y)$ para cada $x,y\in\mathbb R$ . Usted se pregunta si la función $f(x)=|x|^p$ es subaditiva para $0<p<1$ .

Según wikipedia artículo toda función cóncava con $f(0)=0$ es subaditiva. La prueba de wikipedia:
$f(x) \ge \frac{y}{x+y} f(0) + \frac{x}{x+y} f(x+y)$
$f(y) \ge \frac{x}{x+y} f(0) + \frac{y}{x+y} f(x+y)$ .
Sumando estas desigualdades se obtiene $$f(x)+f(y)\ge f(x+y).$$ Si he entendido bien la prueba que se da en la wikipedia, esto funciona sólo para $x,y\ge 0$ .

Pero como su función tiene la propiedad $f(x)=f(|x|)$ y está aumentando en $[0,\infty)$ Creo que esto debería ser suficiente en su caso. Es decir, si ya tenemos subaditividad para los positivos $x$ y $y$ obtenemos: $$f(x+y) = f(|x+y|) \le f(|x|+|y|) \le f(|x|) + f(|y|) = f(x)+f(y).$$

Así que sólo hay que verificar que la función es cóncava.

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Aquí hay otra referencia para un resultado similar:

Análisis funcional y semigrupos Por Einar Hille, Ralph S. Phillips, Teorema 7.2.5 :

Una condición necesaria y suficiente para que una función cóncava medible medible $f(t)$ sea subaditiva en $(0,\infty)$ es que $f(0+)\ge 0$ .