Elipse como en la esfera

Question

Encontrar el lugar geométrico de todos los puntos de una esfera de tal manera que la suma de distancias geodésicas de dos puntos fijos F1 y F2 en él es menos constante, de su diámetro. (Cuando el radio de la esfera va a infinito, se vería como una elipse).

Siguiente es la imagen después de Equn (* 1) en la nota de hui achille

Answer 1

WOLOG, considere el caso $\begin{cases} F_1 &= (+\sin\alpha,0,\cos\alpha),\\ F_2 &= (-\sin\alpha,0,\cos\alpha) \end{casos}$ with $\alpha \en (0,\frac{\pi}{2})$ y la esfera es la unidad de la esfera.

Deje $2\theta \ge 2\alpha$ ser constante para la suma de las distancias geodésicas a $F_1$ y $F_2$. Para cualquier punto de $p = (x,y,z)$ en el locus. podemos encontrar una $\tau$ tal que

$$ \theta + \tau = \text{dist}(p,F_1) = \cos^{-1}(\cos\alpha z + \sin\alpha x)\\ \theta \tau = \text{dist}(p,F_2) = \cos^{-1}(\cos\alpha z - \sin\alpha x) $$ Esto lleva a $$\cos(\theta\pm\tau) = \cos\alpha z \pm \sin\alpha x \implica \begin{cases} \cos\theta\cos\tau &= +\cos\alpha z\\ \sin\theta\sin\tau &= -\sin\alpha x \end{casos} $$ y por lo tanto $$\left(\frac{\cos\alpha}{\cos\theta} z\right)^2 + \left(\frac{\sin\alpha}{\sin\theta} x\right)^2 = (\cos\tau)^2 + (\sin\tau)^2 = 1$$

Deje $A = \tan\alpha$$D = |\tan\theta|$, podemos reescribir esto como

$a$z^2 + \frac{A^2}{D^2} x^2 = \frac{1+A^2}{1+D^2} \quad\ffi\quad \frac{x^2}{D^2} + \frac{y^2}{D^2-A^2} = \frac{1}{1+D^2}\etiqueta{*1} $$

$\require{enclose}\newcommand{\mybox}[1]{\enclose{roundedbox}{\;#1\;}}$ Geométricamente, hay varias posibilidades

• $\mybox{\theta = \alpha}$

  $D = A$, $(*1)$ se reduce a $y = 0$$|x| \le \cos\alpha$. El lugar geométrico es un arco circular de unirse a $F_1$, $F2$.

• $\mybox{\alpha < \theta < \frac{\pi}{2}}$

  $A < D < \infty$, $(*1)$ se reduce a la ecuación de una elipse. El locus se encuentra en la parte alta del hemisferio. No sólo se ve como una elipse, es una elipse si el proyecto es a la $xy$-plano.

• $\mybox{\theta = \frac{\pi}{2}}$

  $D = \infty$, $(*1)$ se reduce a $x^2 + y^2 = 1$. El lugar geométrico es el ecuador.

• $\mybox{\frac{\pi}{2} < \theta < \pi - \alpha}$

  $A < D < \infty$ nuevo, el locus se encuentra en la parte inferior del hemisferio. Una vez más, es una elipse si el proyecto es a la $xy$-plano.

• $\mybox{\theta = \pi -\alpha}$

  $D = A$ y una vez más, $y = 0$$|x| \le \cos\alpha$. El lugar geométrico es un arco circular de unirse a la antipodal puntos de $F_1$$F_2$.

Actualización

Al final es una imagen que muestra cómo la familia de los loci cualitativamente aspecto. La trama se genera por $\alpha = 30^\circ$ $\theta$ inicio en $30^\circ$ el aumento con el paso $5^\circ$. Los loci cuyas $\theta$ es un múltiplo entero de $15^\circ$ es de color negro y la de $\theta = 90^\circ$ está en blanco.

Por favor, tenga en cuenta que la trama es parcialmente transparente. Si usted mira cuidadosamente, usted puede ver el locus de $\theta = 90^\circ$ detrás de la espalda de la esfera. Este lugar no tiene ningún tipo de característica y es simplemente el gran círculo en el ecuador!

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