Lebesgue integral, juego abierto y cierre

Question

Este es uno de los problema en mi examen final. La siguiente integral es hablado en el sentido de Lebesgue. Supongamos $f$ es integrable sobre la recta real.

Si para cualquier conjunto abierto $G\subset R$, $$\int_Gfdx=\int_{\overline{G}}fdx$$

A continuación, $f = 0,a.e.$

Me las arreglé para demostrar la proposición al $f$ es no negativa. Vamos a cualquier $\epsilon>0$ ser dado. Supongamos $f$ es no negativa y dejar que el pedido de todos los números racionales en la recta real se $\{q_n\}_{n\geq 1} $. Deje $q_n \subset E_n $ donde $E_n$ es un intervalo abierto y $m(E_n)\leq\frac{\epsilon}{2^n}$. Set $E$ ser la unión de todos los $E_n$'s, se deduce que el $E$ es abierto y $m(E)\leq\epsilon$. Para todos $\epsilon$.

Ahora $E$ es un cubrimiento de todos los números racionales, se deduce que el $\overline{E}=R$. Por la asunción, $\int_Rfdx=\int_Efdx$. Elija $\epsilon$ tan pequeña que la integral en el lado derecho es más pequeño que arbitrariamente un número real positivo, tenemos que $\int_Rfdx\leq0$. Desde $f$ es no negativa, $f = 0, a.e.$, como se desee.

Pero tengo problemas para extender para el caso general. Creo que estoy bastante cerca, pero estoy atascado. Puede alguien darme una pista?

Gracias!

Me gustaría especificar aún más el problema que me encontré durante la generalización: Como Armónico Analista contestado, he intentado generalizar por la descomposición de la $f$ a $f^+$ $f^-$ donde $f^+,f^-$ son no negativos y $f=f^+-f^-$. Deje $E^+={f>0}$, entonces para cualquier conjunto $G$, $$\int_{G}f^+dx = \int_{G\cap E^+}fdx $$

Ahora si podemos probar que $$\int_{G}f^+dx = \int_{\overline{G}}f^+dx $$ Queremos terminar la prueba. Esto es equivalente a $$\int_{G\cap E^+}fdx = \int_{\overline{G}\cap E^+}fdx $$

Pero, ¿cómo puede ser deducida a partir de las condiciones dadas? La cuestión set ${G\cap E^+}$ no está abierto, y $\overline{G}\cap E^+$ no es incluso su cierre.

Esta es la dificultad que me detuvo. Yo también estoy empezando a pensar que estoy en camino a una dirección equivocada. De nuevo, gracias de antemano!

Answer 1

$\def \R{\mathbb{R}}$ Mi respuesta es muy similar a la de su método. Yo reclamo que por cualquier $a<b$, $$\int_a^b f(x) dx = 0.$$ De hecho, como lo hizo, vamos a $\{q_n\}_{n\geq 1}$ ser racionales en $(a, b)$ (no en $\R$). Para cada una de las $\epsilon>0$ no es un conjunto abierto $V_{\epsilon}$ tal que $\{q_n\}_{n\geq1} \subset V_{\epsilon} \subset (a, b)$$m(V_{\epsilon}) < \epsilon $. Aquí $m$ denota la medida de Lebesgue. Desde el cierre de $\{q_n\}_{n\geq 1}$ $(a, b)$ ambos $[a, b]$, podemos ver el cierre de $V_{\epsilon}$$[a, b]$. La condición dada rendimientos $$\int_a^b f(x) dx = \int_{V_{\epsilon}} f(x) dx \to 0 \quad(\epsilon \to 0).$$ El límite sigue por el hecho de que $m(V_{\epsilon}) \to 0$ y una aplicación del Teorema de Convergencia Dominada. A partir de esta observación, es fácil comprobar que $f = 0$.e.

Answer 2

Creo que podrías usar un argumento estándar, descomponiendo una función arbitraria$f$ en$f^+$ y$f^-$, y usando tu prueba para cada una de estas funciones. Es decir:

ps