Supongamos que la esfera$x^2+y^2+z^2=9$ tiene tres orificios de radio$1$ perforados a través de él. Uno abajo del eje$z$ -, uno a lo largo del eje$x$ - y uno a lo largo del eje$y$ -. ¿Cuál es el volumen del sólido resultante? Puedo hacerlo por dos hoyos, pero estoy atascado en tres.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Los 3 agujeros tales perforado forma una intersección de 3 cilindros en el centro, además de 6 cilindros/tapa de pares. Voy a tratar cada problema en turno.
Aquí está una foto de la situación:
Intersección de 3 cilindros
El problema es encontrar el volumen de tres ortogonal, la intersección de los cilindros:
$$\begin{align}x^2+y^2&=1\\x^2+z^2&=1\\ y^2+z^2&=1\end{align}$$
La región de intersección se muestra a continuación:
Observamos que hay dos maneras de acotar el volumen de $x$:
$$\begin{align}|x| &\le \sqrt{1-y^2}\\ |x| &\le \sqrt{1-z^2}\end{align}$$
Ya que estamos calculando el volumen del interior de la región definida por estos límites, es lógico que $|x|$ debe ser limitada por el menor de estos dos límites:
$$|x| \le \min{\left(\sqrt{1-y^2},\sqrt{1-z^2}\right)}$$
de modo que el volumen integral, toma la forma
$$\int_{-1}^1 dz \: \int_{-\sqrt{1-z^2}}^{\sqrt{1-z^2}} dy \: \int_{-m(y,z)}^{m(y,z)} dx = 2 \int_{-1}^1 dz \: \int_{-\sqrt{1-z^2}}^{\sqrt{1-z^2}} dy \: m(y,z)$$
A continuación es una representación de la integración de la región para esta integral:
La razón de las líneas es porque $\sqrt{1-y^2} \lt \sqrt{1-z^2}$ según si $|y| \gt |z|$. La integral es simétrica, a continuación, sobre las regiones delimitadas por las líneas con pendiente; por lo tanto, sólo necesitamos considerar una de estas regiones y el resto de producir el mismo resultado. Vamos, entonces, a considerar la región que rodea el positivo $y$ (horizontal) del eje en la figura de arriba. En este caso, $m(y,z) = \sqrt{1-y^2}$; cuando usamos coordenadas polares, la integral se convierte en
$$\begin{align}8 \int_{-\pi/4}^{\pi/4} d\phi \: \int_0^1 d\rho \, \rho \sqrt{1-\rho^2 \cos^2{\phi}} &= 4 \frac{2}{3} \int_{-\pi/4}^{\pi/4} d\phi \: \left( 1- \left|\sin^3{\phi}\right|\right) \sec^2{\phi}\\ &= \frac{16}{3} - \frac{16}{3} \int_0^{\pi/4} d\phi \: \sin^3{\phi} \, \sec^2{\phi}\\ &= 8 \left (2 - \sqrt{2}\right ) \end{align}$$
El cilindro y la tapa
De la sección transversal de la geometría aquí corresponde a un rectángulo de anchura $2$ inscritos simétricamente alrededor de un diámetro de un círculo de radio $3$, con la tapa correspondiente a la resultante de segmento circular. La distancia desde el centro del círculo hasta el borde corto del rectángulo es $\sqrt{3^2-1^2}=2 \sqrt{2}$, por lo que la altura del cilindro fuera de la intersección de arriba es $2 \sqrt{2}-1$. El volumen de un cilindro es lo $\pi \cdot 1^2 \cdot (2 \sqrt{2}-1) = (2 \sqrt{2}-1) \pi$.
El volumen de la pac es la diferencia entre el volumen de la esférica sector subtendido por el ángulo sólido definido por el agujero y la correspondiente cono. El volumen de la esférica sector está dado por $\frac13 (3)^3 \Omega$ donde $\Omega$ es el ángulo sólido. Nos encontramos con $\Omega$ mediante la integración de más de un ángulo en coordenadas esféricas:
$$\Omega = \int_0^{\theta_0} d\theta \, \sin{\theta} \, \int_0^{2 \pi} d\phi = 2 \pi (1-\cos{\theta_0})$$
donde $\sin{\theta_0} = \frac13 \implies \cos{\theta_0} = 2 \sqrt{2}/3$. Por lo tanto el volumen de un sector de la es $6\pi (3-2 \sqrt{2})$.
El volumen de un cono es $\frac13 \pi (1^2) 2 \sqrt{2} = 2 \sqrt{2} \pi/3$. Así, el volumen de una tapa
$$6\pi (3-2 \sqrt{2}) - \frac{2 \sqrt{2} \pi}{3} = \left (18 - \frac{38 \sqrt{2}}{3}\right )\pi$$
Poniendo todo junto
El volumen de los agujeros es $6$ veces la suma de los volúmenes del cilindro y la tapa, más el volumen de la intersección:
$$V_{\text{holes}} = 6 \pi (2 \sqrt{2}-1) + \left (108- 76 \sqrt{2}\right )\pi + 8 (2-\sqrt{2})= (102-64\sqrt{2})\pi + 8 (2-\sqrt{2})$$
El volumen que queda después de la perforación es por lo tanto el volumen de la esfera, menos el volumen de los huecos, o
$$V = \frac{4 \pi}{3} (3)^3 - V_{\text{holes}} = (64 \sqrt{2}-66) \pi - 8 (2-\sqrt{2}) \approx 72.31$$
en comparación con el volumen original de la esfera $36 \pi \approx 113.1$.
