Cuestión sobre las definiciones

Question

Yo estaba pasando por algunos básico resumen de los números complejos y en el libro (M. Boas. Métodos matemáticos en las Ciencias Físicas) dice que definen $e^{ix}$ por la serie de Taylor con $x$ reemplazado por $ix$ y definimos $\sin(z)$ por el exponenciales $\displaystyle\left(\frac1{2i}\right)(e^{iz}-e^{-iz})$. ¿Por qué se dice de nosotros que se definen las funciones a ser eso, que lo hace sonar como que estamos eligiendo que esa declaración sea verdadera en lugar de ser lógicamente verdaderas. No basta con sustituir el número real de entradas con el complejo de entradas y ver qué pasa? Lo siento, este es bastante vago y ambiguo, pero podría alguien ayudar a aclarar mi punto de vista sobre esto? Lo siento si esto ha sido pedido ya este es mi primer post y espero seguir reglas.

Edit: el ejemplo que aquí se supone que sólo ilustrar el punto de lo que significa para definir algo en Matemáticas.

Answer 1

En la escuela secundaria, uno comienza por definir $\sin$ de los ángulos en el intervalo de $\bigl[0^\circ, 90^\circ\bigr]$, al considerar ciertas proporciones en los triángulos rectángulos. A continuación, se introduce una nueva medida del ángulo mediante la sustitución de grados por las correspondientes longitudes de arco en el círculo unidad $S^1$. Ahora uno ha $\sin$ en el intervalo de $\bigl[0,{\pi\over2}\bigr]$. Pero uno reconoce fácilmente que mirar el $y$-coordenadas de los puntos en todos los de $S^1$ permitiría definir una función periódica $\sin:\>{\mathbb R}\to[-1,1]$ con un montón de propiedades deseables.

Todo ésto está muy bien, pero no responde a la pregunta de cómo calcular el valor de $\sin t$ por $t\in{\mathbb R}$. Aquí es donde cálculo. Existen varios enfoques; y uno de ellos es el siguiente: Considere el mapa $${\rm cis}:\quad {\mathbb R}\to{\mathbb C}, \qquad t\mapsto e^{it}:=\sum_{k=0}^\infty{(it)^k\over k!}\ .$$ A partir de las propiedades básicas de la función exponencial (que se define por su poder de serie) se deduce que ${\rm cis}$ vientos ${\mathbb R}$ a $S^1\subset{\mathbb C}$ en un localmente isométrica manera, es decir, pequeños intervalos de $[t_1,t_2]$ se asignan en pequeños arcos en $S^1$ tienen una longitud de $t_2-t_1$. Pero esto significa que $${\rm Re}\bigl(e^{it}\bigr)=\cos t, \quad {\rm Im}\bigl(e^{it}\bigr)=\sin t\ ,$$ donde $\cos$ $\sin$ han original "geométrico" en significado. Este hecho no sólo permite calcular $\cos t$ $\sin t$ el uso de un bien convergente la serie, pero en primer lugar le da un universal descripción analítica de estas funciones. Es natural que ahora podemos definir de una vez por todas $$\cos t:={\rm Re}(e^{it}),\qquad \sin t:={\rm Im}(e^{it})\qquad (t\in{\mathbb R})\ ,$$ así que tenemos a partir de ahora puede trabajar con estas funciones, sin referencia a un nublado noción de "ángulo", y obtener de forma gratuita y sin caso distinciones sus propiedades ya conocidas (además de teoremas, etc.): Estas propiedades de inmediato puede ser derivado de las correspondientes propiedades de la función exponencial.

Answer 2

La serie de Taylor para$e^x$ es:$$e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots\infty$ $ Para$\sin x$ y$\cos x$ es:$$\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots\infty$ $$\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots\infty$$$x=i\theta$ $% $$$e^{i\theta}=1+\frac{i\theta}{1!}+\frac{(i\theta)^2}{2!}+\frac{(i\theta)^3}{3!}+\frac{(i\theta)^4}{4!}+\frac{(i\theta)^5}{5!}\cdots\infty$ $% $$$e^{i\theta}=\left(1+\frac{(i\theta)^2}{2!}+\frac{(i\theta)^4}{4!}+\cdots\infty\right)+\left((i\theta)+\frac{(i\theta)^3}{3!}+\frac{(i\theta)^5}{5!}+\cdots\infty\right)$ $ Por lo tanto,$$e^{i\theta}=\left(1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}+\cdots\infty\right)+i\left(\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}+\cdots\infty\right)$ $

Answer 3

Usted puede definir la función exponencial, en muchas maneras, una de esas maneras es mediante una serie de Taylor. La otra forma de definirlo es como una función que es igual a su propio derivado, es decir, vamos a permitir que una función se $f(x)$, entonces se debe satisfacer la ecuación diferencial con inittial condición de $f(0) = 1$.

$$ f'(x) = f(x) $$

A partir de esta ecuación se puede construir la función exponencial, por construting $f(x)$ $f'(x)$ simultáneamente. Primer set $f(x) = 1$ (para satisfacer la condición inicial), pero luego de satisfacer la diff. eqn. $f'(x)$ debe $1$, por lo que configura $f(x) = 1 + x$, ahora para satisfacer la de, $f'(x)$ debe $1 + x$, por lo que, a continuación, $f(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2} $ ... Si continuar con este proceso de arive para la serie infinita representación de $f(x) = e^x$, debido a que ninguna serie finita puede ser igual a su propia derivada.

Usted puede hacer lo mismo para la función seno, su ecuación diferencial es

$$ f"(x) = -f(x), f(0) = 0, f'(0) = 1 $$

Usted puede construir una función de las propiedades que desea que la función tiene, y el estado de las propiedades a través de una ecuación diferencial.

Answer 4

ya que están cambiando el dominio de la función, se crea un nuevo objeto que tiene que definir (una de las relaciones en $\mathbb{C} \times\mathbb{C}$ que debe satisfacer alguna norma) de tal manera que su definición tiene sentido (i.e bien definido).

Si vamos a abordar el tema desde el punto de vista de los números reales, no debemos esperar ningún tipo de relación entre la función exponencial y funciones trigonométricas $sin(x)$$cos(x)$. De hecho, las expansiones de Taylor son muy similares y si se usa el imaginario argumentos será posible obtener la fórmula de Euler. Esto no es rigurosa, porque aunque no es prueba de que el poder de la serie de sentido cuando permitimos que el complejo de variables en lugar de reales! Sin embargo, los podemos definir en el complejo análisis de la configuración. Una forma es la siguiente "motivación": definir la función exponencial como la solución de la ecuación diferencial \begin{equation} f'(z) = f(z) \end{equation} con el valor inicial $f(0)=1$. Y establecer $f(z) = a_0 + a_1z + \dots + a_nz^n +\dots$ Para satisfacer la ecuación diferencial debemos tener $f'(z) = a_1 + 2a_2z+ \dots + na_nz^{n-1} +\dots$, por lo tanto \begin{equation} a_{n-1} = na_n \end{equation} y $a_0 = 1$. Luego se sigue por la inducción que \begin{equation} a_n = \frac{1}{n!} \end{equation}

Tenemos la solución \begin{equation} e(z) = 1 + \frac{z}{2!} + \frac{z^2}{2!} + \dots + \frac{z^n}{n!} + \dots \end{equation}

Es, a continuación, siga el paso de mostrar que esta definición tiene sentido para cada número complejo $z$ y que esta serie converge en $\mathbb{C}$. La serie converge absolutamente para cada $z$ y converge uniformemente en cada subconjunto acotado de $\mathbb{C}$. Esto muestra que es continua.

Ahora podemos definir las funciones trigonométricas y obtener la fórmula de Euler.