Entiendo que la definición formal de un homomorfismo de anillos es alguna función$f$ que mapea$R$ a$S$ ($f: R \rightarrow S$) st% . Pero ¿cómo puedo "visualizar" esto? Supongo que estoy pidiendo una explicación "dumbed down".
Por ejemplo, me encontré con este problema:
Describa todos los homomorfismos de anillos de$f(ab) = f(a)f(b)$ en$f(a + b) = f(a) + f(b)$.
¿Cómo hago para "visualizar" problemas como este? Realmente, cualquier ayuda sería grande. ¡Gracias!
Esta es una pregunta difícil de responder satisfactoriamente.
Yo no trate de visualizar, pero uno puede imaginar la multiplicación y la adición de tablas ser "transportado" a de un anillo a otro. Cómo "perfectamente" este transporte se produce depende del tamaño del núcleo (o, por decirlo en una forma equivalente, cómo "inyectiva" el mapa es). Si el mapa es perfectamente inyectiva, entonces el núcleo es trivial, y existe una copia literal de la tabla de multiplicación del primer anillo dentro de la tabla de multiplicación del segundo anillo (y lo mismo para la adición de tablas). En tal caso, el homomorphism es un isomorfismo en su imagen. Si el mapa no es inyectiva (con el tamaño del núcleo de revelar lo mal que existe la "superposición" en los elementos de destino), entonces la operación de las tablas de la gama del mapa será idéntica a la original, tablas de operación, SALVO que algunas de las columnas y filas de repente ser considerado "el mismo" (modulo de los elementos en el núcleo).
Por ejemplo, es la inclusión homomorphism $\phi: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R}$ que es inyectiva (con trivial kernel), y, de hecho, se puede ver que no es una copia perfecta de las tablas de operación para $\mathbb{Z}$ dentro de las tablas de operación para $\mathbb{R}$. Por otro lado, hay un homomorphism $\psi: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_n$ definido por $x \mapsto [x]_n$ que es no inyectiva (con $\ker(\psi)$ igual a la cantidad de $n$). Si queremos visualizar las tablas de operación en $\mathbb{Z}_n$, básicamente esto nos está diciendo a empezar con las tablas de operación en $\mathbb{Z}$ y, de repente, respecto de la $k^{th}$ columna / fila como la misma como la $(k+mn)^{th}$ columna / fila para cada múltiplo $m$ $n$ (y cada una de las $k$).
Por último, un escenario del "peor caso" de inyectividad es dada por el trivial homomorphism $\phi:R \rightarrow S$ define de forma tal que $x \mapsto 0_S$ todos los $x \in R$. Para este mapa, el kernel es el todo el anillo, y cada columna en el original de la tabla de operación se ha realizado "equivalente" (del mismo modo que para las filas).
Moraleja de la historia: Si usted puede hacer sus operaciones binarias en $R$, automáticamente saber cómo hacer sus operaciones binarias en $\phi(R)$ para cualquier homomorphism $\phi$.
Encontrar homomorphisms $\phi: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$.
Observe que podemos escribir cada elemento en $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ como una suma de un cierto número de copias de $(0, 1)$ junto con un número de copias de $(1, 0)$. Por lo tanto, $\phi((1, 0))$ $\phi((0, 1))$ determinar la totalidad de la operación binaria para la tabla de destino del anillo.
¿Cuáles son las posibilidades de las imágenes de estos? Bueno, aviso que $(1,0) \cdot (1,0) = (1, 0)$, por lo que debemos tener $\phi \Big( (1, 0) \cdot (1, 0) \Big) = \phi \Big( (1, 0) \Big)$, y ahora podemos tomar ventaja de la multiplicativity de $\phi$: el lado izquierdo de esta se convierte en $\phi \Big( (1, 0) \Big) \cdot \phi \Big( (1, 0) \Big)$. Por lo tanto, $\phi \Big( (1, 0) \Big)$ debe satisfacer $x^2 = x$$\mathbb{Z}$. Realmente reduce las posibilidades, ¿eh? El mismo argumento vale para $\phi \Big( (0, 1) \Big)$.
Desde el multiplicativo identidad se mantiene bajo homomorphisms, $\phi \Big( (1, 1) \Big) = 1$, y se puede utilizar junto con la anterior para demostrar que exactamente uno de $(0, 1)$ o $(1, 0)$ mapas a $0$.
Ya que cada homomorphism está determinada por la imagen de estos dos elementos, ahora tiene todo para describir explícitamente cada posible homomorphism.
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