Dejando fuera a uno de los Axiomas de Peano

Question

¿Qué sucede si deja N4 (de Ross' libro) de los axiomas de Peano, que establece que si $n$ $m$ $\mathbb{N}$ tienen el mismo sucesor, a continuación,$n = m$?

Answer 1

Este es el axioma de que las fuerzas de $\mathbb{N}$ ser infinito; en caso de caída, a continuación, usted pierde el requisito de que su 'conjunto de los números naturales" ser infinito.

$\mathbb{N}$ satisfacer el resto de axiomas, pero también lo haría el conjunto de $\{ 0, 1 \}$, donde se definen $\mathtt{succ}(0)=1$$\mathtt{succ}(1)=1$. De hecho, cualquier conjunto de la forma $\{ 0, 1, \cdots, n \}$ ( $n \ge 1$ ) satisfaga el resto de los axiomas de Peano si definimos $\mathtt{succ}(k)=k+1$$k < n$$\mathtt{succ}(n)=n$.

Answer 2

Si se omite el axioma $\, Sm = Sn\,\Rightarrow\, m=n\,$$S$, no necesitan ser $1$-$1,\,$ así que los axiomas ahora admitir finito "dipper" semigroup modelos, donde la órbita de $S$ a partir de $0$ no necesitas ser un infinito de la mitad de la línea, pero puede ser una forma de la osa mayor (es decir, la forma de la letra $\rho),\,$, con un primer preperiod seguido por un periódico de parte. Si $\, S^{j+k}0 = S^j0\,$ $\,j,k\,$ mínima, a continuación, $\,0,S0,\ldots,S^{j-1}0\, $ es el preperiod, y periódicamente un ciclo de longitud $\,k\,$ comienza a $\,S^j0 = S^{j+k}0 = S^{j+2k}0 =\, \ldots \,$

Answer 3

Si se omite el axioma $ Sm = Sn \to m =n $, entonces usted pierde una igualdad no es sólo N3 izquierda $ \forall x \lnot ( 1 = Sx) $ butthat realidad no dicen nada acerca de la igualdad , ¿cómo vas a demostrar que 1 = 1?

Answer 4

Dejando fuera sólo N4 de su axiomas de Peano, tendría que admitir la posibilidad de un finitos de la estructura con $N=\{1,2,3, ... n\},$ $n>1$ y $S(k)=k+1$ todos los $k< n$, e $S(n)=m$ para algunos $m,$ $1<m\leq n,$ es decir, un bucle finito no incluidas $1$ a través de $m-1.$

Dejando fuera sólo N3 ($S(x)\neq 1$) admitir la posibilidad de un número finito de estructura con $N=\{1,2,3, ... n\},$ $S(k)=k+1$ todos los $k< n$, e $S(n)=1,$ es decir un bucle finito, incluyendo todos los de $N.$ también sería admitir la posibilidad de una cadena de irse hasta el infinito en ambas direcciones (como los enteros).

Dejando fuera sólo N5 (inducción), habría que admitir la posibilidad de que cualquier número de distinto finito lado lazos o cadenas de irse hasta el infinito en ambas direcciones (como los enteros), cada uno de los cuales sería no estar conectado a establecer queremos. Véase, por ejemplo , donde las fichas de dominó representan elementos de $N$. N5 filtros de todos los tales "basura".

Consulte "¿Qué es un número?" de nuevo en mi blog de matemáticas.

Por CIERTO, la referencia que hace uso del operador + en N2 y N5. No ha sido definida. En lugar de $n+1,$, la autora debería haber escrito "el único sucesor de n."