Demostrar que al menos 99 sumas emparejadas de los reales son no negativas

Question

Supongamos que se dan cien números reales y su suma es 0. ¿Cómo puedo demostrar que al menos 99 de las sumas de estos cien números son no negativas?

Probé esto: Que los números reales sean $a_i$ , $1\leq i\leq100$ . Por la condición dada, $a_1+a_2+\dots +a_{100}=0$ Supongamos que a lo sumo 98 de las sumas por pares de estos reales dados son no negativas. Acabo de intentar examinar el caso en que exactamente 98 de ellos son no negativos. He etiquetado las sumas $S_1$ , $S_2,\dots S_{4950}$ WLOG suponen que las sumas $S_1,S_2,\dots S_{4852}$ son negativos, el resto son no negativos. $$S_1+S_2+\dots +S_{4950}=99(\sum_{i=1}^na_i)=0$$ Caso I: $S_{4853}+a_{4854}+\dots +a_{4950}=0$ Eso significa simplemente que $S_1+S_2+\dots +S_{4852}=0$ Pero, por la condición dada, $S_1+S_2+\dots +S_{4852}<0$ una contradicción. Después de eso, no soy capaz de hacer ningún progreso.

Alguien puede sugerir un método más eficaz para resolver este problema.

Answer 1

Sin pérdida de generalidad, $a_1\ge a_2\ge \ldots\ge a_{100}$ . En $$0=(a_1+\ldots+a_{50})+(a_{51}+\ldots+a_{100})\le 50a_1+50a_{51},$$ concluimos $a_1+a_{51}\ge0$ por lo que tenemos $50$ sumas no negativas $$\tag1 a_1+a_k,\ 2\le k\le 51$$ en $a_1$ . Podemos suponer que $a_1+a_{100}<0$ de lo contrario $(1)$ puede ampliarse a $2\le k\le 100$ y hemos terminado. Por lo tanto $a_2+\ldots+a_{99}=-(a_1+a_{100})>0$ y de $$0< (a_2+\ldots+a_{50})+(a_{51}+\ldots a_{99})\le 49a_2+49a_{51},$$ concluimos $a_2+a_{51}> 0$ por lo que tenemos otro $49$ sumas no negativas (de hecho, positivas) $$\tag2a_2+a_k,\ 3\le k\le 51$$ y junto con $(1)$ esto produce el $99$ sumas no negativas.

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Advertencia: Al contrario de lo que pueda parecer, este método pas garantizarnos $50+49+48+\ldots$ sumas no negativas como primer paso de $(1)$ a $(2)$ sólo entra en juego si $a_1+a_{100}<0$ . De hecho, $a_1=99, a_2=\ldots=a_{100}=-1$ muestra que $99$ no puede mejorarse.