Volumen de un agujero a través del cilindro (desde el lado)

Question

Necesito calcular el volumen de un agujero circular en un cilindro y me he encontrado con un problema. El problema es encontrar el "límite de volumen", el cual es necesario para completar el volumen del agujero. He creado un ejemplo rápido del problema.

Cilindro que será perforado

El agujero. La tapa se muestra con el magenta color de las curvas de

Answer 1

Deje $R$ $r$ ser el radio del cilindro y el agujero. Supondremos $k = \frac{r}{R} < 1$.

Nosotros, además, asumir el agujero se perfora hacia el centro y perpendicular al eje del cilindro. Bajo estos supuestos, el volumen de la tapa está dada por

$$\begin{align} \verb/Vol/_{cap} &= 4 \int_0^r \int_0^{\sqrt{r^2-x^2}} \left( \sqrt{R^2-x^2} - \sqrt{R^2 - r^2} \right) dy dx\\ &= 4 \int_0^r \sqrt{r^2 - x^2}\left(\sqrt{R^2 - x^2} - \sqrt{R^2-r^2}\right) dx\\ &= 4Rr^2 \left[ \int_0^1 \sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)} dx - \frac{\pi}{4}\sqrt{1-k^2}\right]\\ &= 4Rr^2 \left[\frac{(1+k^2)E(k) -(1-k^2)K(k)}{3k^2} - \frac{\pi}{4} \sqrt{1-k^2}\right] \end{align} $$ donde

$$\begin{align} K(k) &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}} d\theta = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{(1-k^2x^2)(1-x^2)}} dx \\ E(k) &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-k^2\sin^2\theta} d\theta = \int_0^1 \sqrt{\frac{1-k^2x^2}{1-x^2}} dx \end{align}$$

están las integrales elípticas de primera y segunda clase, respectivamente.

Del mismo modo, el volumen del agujero está dada por

$$\verb/Vol/_{agujero} = 8Rr^2 \left[\frac{(1+k^2)E(k) -(1-k^2)K(k)}{3k^2} \right]$$