Matriz antisimétrica que opera en$\mathbb R_{\ge 0}^n$

Question

Mientras buscaba en algo relacionado con la teoría de los juegos, me encontré con este problema.

Dada una matriz antisimétrica $\mathbf A$, muestran que existe un vector $\mathbf t \ne \mathbf 0$ con sólo no negativo de entradas, que $\mathbf{At}$ sólo tiene valor no positivo de las entradas.

Me las he arreglado para probar algunas cosas acerca de la $\mathbf t$. En particular, para todos los $i$, en la mayoría de los una de $t_i$ $[At]_i$ puede ser distinto de cero. Sin embargo, me parece que no puede demostrar que $\mathbf t$ existe necesariamente. Consejos sobre cómo podría demostrarlo? O, para el caso, es que hay un contraejemplo?

Answer 1

Su conjetura es verdadera. Aquí está una prueba por contradicción. Deje $P$ ser el positivo de cono $\mathbb R_{\ge0}^n$. Supongamos que, al contrario, $Av\not\le0$ por cada $v\in P\setminus0$. A continuación, $AP$ $-P\setminus0$ son dos disjuntos no vacíos conjuntos convexos. Por lo tanto, por la separación de hyperplane teorema, existe un vector distinto de cero $v$ tal forma que:

1. $\langle v,x\rangle\ge0$ por cada $x\in AP$,
2. $\langle v,y\rangle\le0$ por cada $y\in-P\setminus0$.

Ahora (1) implica que $v^TA=(v^TAe_1,\ldots,v^TAe_n)\ge0$. Desde $A$ es anti-simétrica, obtenemos $Av=-(v^TA)^T \le 0$. Sin embargo, (2) implica que $v\ge0$. Por lo tanto nuestra hipótesis inicial de que el $Av\not\le0$ por cada $v\in P\setminus0$ no puede ser cierto.