No hay hombres con barba en el mundo - Lo que va mal en esta prueba?

Question

Hace varios años en un libro de texto que he leído este ejemplo como un uso incorrecto de la prueba por inducción. Nunca me di cuenta de por qué no funciona. Aquí va:

Teorema. No hay hombres con barba en el mundo.

• Prueba por inducción

Caso Base: Supongamos que una persona tiene n=1 vello facial. Eso no es suficiente para se llama barba.

Inducción paso: Asumir como inducción de la hipótesis de que la declaración de es cierto para n = k cabello, por lo que la persona tiene n = k vello facial que no son suficientes para constituir una barba. La adición de un pelo para el conjunto de no importa y la declaración se mantiene fiel.

Por lo tanto, ningún hombre barbudo existe en el mundo.

¿Qué falla aquí?

Answer 1

La (falta de) la definición de lo que constituye una barba es la falla.

Answer 2

Esta es la llamada "paradoja de Sorites", o "del montón problema", que se expresa normalmente en términos de un montón de arena y el mismo inductivo problema. El artículo de la Wikipedia que he enlazado tiene un resumen de las objeciones filosóficas, pero, básicamente, Eckhard es correcta. Personalmente siempre he pensado que este tipo de argumento como tener un oculto paso en el que el arguer pasa cuidadosamente la definición de "pila" lejos de lo semántico espacio en el que el poder-ser-una-pila está a punto de ser trasladado.

Answer 3

No estoy de acuerdo en que la falta de definición de lo que es una barba es la falla. Es un error, seguro, pero yo no creo que sea el central falla aquí.

El problema es más fundamental que eso: esta es la aplicación incorrecta de fuerte conceptos matemáticos en el mundo real los conceptos que tenemos lo que nos podría (sin juego de palabras) de la llamada difusa definiciones. La realidad es que no hay una definición de la barba basado en "número de bigotes" ni ninguna línea definida claramente que divide la "barba" de "no barba". Incluso podríamos variar nuestra idea de lo que constituye una barba basada en el contexto. Entre nuestros ampliamente limpio y afeitado, y bien recortada, la sociedad se puede considerar incluso un débil crecimiento de la barba, mientras que el mismo vello facial muestran entre Edwardian caballero sería la burla como apenas digno de un adolescente.

Answer 4

El caso base no es problemático, ya que dudo que alguien iba a decir que un hombre con un bigote solo era barbudo. La inducción de paso, sin embargo, descansa en la suposición de que si $k$ pelos no es suficiente para ser llamado barba, ninguno de los dos es $k+1$ pelos. Esta es una muy problemático el reclamo, que (junto con la base, paso a paso) es equivalente a decir que ningún número finito de pelos es suficiente para constituir una barba. Desde que una persona tiene sólo un número finito de pelos en su cara, después de la inducción de paso da por sentado que ninguna persona tiene una barba con el fin de demostrar que ninguna persona tiene una barba. Lógica Circular es malo, m'kay?

En última instancia, esta prueba falsa cantidades a tratar de demostrar que una afirmación sobre algo que no está definido (o sólo vagamente definido). No podemos lógicamente hablar de los objetos, de modo tal persecución en última instancia, será infructuoso.

Answer 5

Hay tres maneras de estar en desacuerdo con un argumento: 1 - Identificar la ambigua o incorrectamente término de uso 2 - de acuerdo con la premisa de 3 - Mostrar que la conclusión a la realidad, no se sigue de las premisas

En este caso, la simple razón al argumentar que está mal es que no está de acuerdo con la premisa de que declaró: "Asumir como inducción de la hipótesis de que la proposición es verdadera para n = k pelo"

El más complejo de los motivos es la asunción implícita de que el número de pelos que es lo que determina la presencia o ausencia de barba.