Dé una prueba inductiva para el siguiente enunciado de divisibilidad.

Question

Deseo demostrar que $$19 \mid 2^{2^{6n+2}}+3 \ \ \text{for all} \ \ n\in\mathbb{N}\cup\{0\}$$

Este es el problema 5 del libro "250 Problems in Elementary Number Theory" (1970) de Waclaw Sierpinski.

Gracias de antemano.

Answer 1

Observe que $2^7 \equiv 2 \pmod {18} $ ... así que $2^{6k+2} \equiv 4 \pmod {18} $ .

Ahora por Fermat $ 2^{18} \equiv 1 \pmod {19}$ ... así que $2^{2^{6k+2}} \equiv 2^4 \equiv 16 \pmod {19}$ .

Answer 2

Tenemos que $$2^6\equiv 1\pmod{9}\implies 2^{6k}\equiv 1\pmod{9}\implies 2^{6k+2}\equiv 4\pmod{9}$$ de donde (ya que el LHS y el RHS son pares) $$2^{6k+2}\equiv 4\pmod{18}.$$ Es decir $$2^{6k+2}=18n+4$$ para algún entero no negativo $n.$ Así,

$$2^{2^{6k+2}}=2^{18n+4}\equiv 2^4\pmod{19}$$ donde hemos utilizado el teorema de Fermat ( $2^{18}\equiv 1\pmod{19}\implies 2^{18n}\equiv 1\pmod{19}$ ). Por último, hay que tener en cuenta que

$$2^4+3=19$$ y hemos terminado.