He a$F\colon \Bbb R^2\to \Bbb R^2$$(x,y)\mapsto (xy,x^2-3y^2)$. Es fácil ver que tal mapa induce un mapa de $f\colon \Bbb R P^1\to \Bbb R P^1$. Me piden calcular su grado y su número de Lefschetz.
Así que el punto fijo que he encontrado de $f$ $[0;1]$, $[2;1]$ y $[-2;1]$. Aviso de que están en el dominio de los locales gráfico de $[x;1]\mapsto x$, por lo que podemos trabajar con esta tabla.
Un rápido cálculo de la diferencial en este gráfico nos da ese $$d_{[x;1]}f=-\dfrac{x^2+3}{(x^2-3)^2}$$ Si conectamos nuestro punto fijo vemos que cada una de ellas es Lefschetz, con locales de lefschetz número $-1$ y por lo tanto el número de Lefschetz es $-3$.
De esto podemos ver que el grado debe ser $4$, gracias a la caracterización de la Lefschetz número alternativo de la suma de la traza de los mapas en la homología.
Pero de forma directa cálculo del grado nos da una respuesta diferente. De hecho, el valor de $[0,1]$ es regular, ya que su preimages $[0;1]$ $[1;0]$ son puntos ordinarios. Un estándar de cómputos da que el grado es $-2$. Esto implicaría que el número de Lefschetz es $3$ e no $-3$.
Donde me estoy perdiendo algo?
EDIT: la respuesta a continuación sugiere que debería calcular el local Lefschtez número de con $I-d_pf$ e no $d_pf-I$. ¿Por qué es así? De acuerdo a Guillemin-Abadejo la segunda fórmula es la correcta.
