Estoy tratando de evaluar ∫10e−x2dx usando series de energía.
Sé que puedo sustituir x2 para x en la serie de energía para ex : 1−x2+x42−x66+⋯ y cuando calculo el antiderivado de esto obtengo x−x33+x55⋅2−x77⋅6+⋯
¿Cómo evalúo esto desde 0 a 1 ?
Estoy tratando de evaluar ∫10e−x2dx usando series de energía.
Sé que puedo sustituir x2 para x en la serie de energía para ex : 1−x2+x42−x66+⋯ y cuando calculo el antiderivado de esto obtengo x−x33+x55⋅2−x77⋅6+⋯
¿Cómo evalúo esto desde 0 a 1 ?
Sólo hay que recoger el material en los comentarios y convertirlo en respuesta. Tenemos e−x2=∑n≥0(−1)nx2nn! donde la serie en el RHS es absolutamente convergente para cualquier x∈R ya que e−x2 es una función completa. Si aplicamos ∫10(…)dx a ambos lados tenemos ∫10e−x2dx=∑n≥0(−1)nn!(2n+1) ya que la convergencia absoluta es más que suficiente para asegurar que se nos permita intercambiar ∫ y ∑ . La última serie tiene términos con signos alternos que van disminuyendo en valor absoluto, por lo que el valor numérico de dicha serie se encuentra entre dos sumas parciales consecutivas cualesquiera. Por ejemplo, considerando las sumas parciales hasta n=1 y n=2 tenemos I=∫10e−x2dx∈(23,23+110).
¿Podemos mejorar esa aproximación de una manera ingeniosa? Sí, por supuesto. Por ejemplo, a través de la integración por partes y un poco de paciencia podemos comprobar que ∫10(1693x4(1−x)4+89x3(1−x)3)⏟∈[0,168] for any x∈[0,1]e−x2dx=100279−4493I de ahí el valor real de I está bastante cerca de 100279⋅9344=2533 . En realidad, la función de error tiene una conocida expansión de fracción continua de la cual es simple derivar la aproximación más precisa 5675 . I≥e−1/3 es una consecuencia directa de La desigualdad de Jensen . Al reemplazar los polinomios x3(1−x)3 y x4(1−x)4 con múltiplos adecuados de los polinomios de Legendre desplazados P4(2x−1) y P5(2x−1) obtenemos la notable aproximación I≈61718263 que difiere del valor exacto por menos de 10−6 pero la mejor aproximación racional con tal precisión es 8231102 .
Puede ser, su pregunta podría ser..: "¿Cuántos términos hay que añadir para alcanzar una precisión determinada?"
Entonces, escribe ∫10e−x2=p−1∑n=0(−1)n(2n+1)n!+Rp y quieres Rp=1(2p+1)p!≤10−k⟹(2p+1)p!≥10k⟹log((2p+1)p!)≥log(10k) Si observas la trama de los últimos rhs, notarás que parece una ley de poder y una regresión muy simple dará (por 1≤p≤20 ) log((2p+1)p!)≈0.831352p1.34007 que luego dará p≈2.13873k0.74623 Así que, usando por ejemplo, k=6 esto le daría p=8.144 y luego decir p=9 . Comprobando 17×8!=685440<106 19×9!=6894720>106 Así que, computar los términos por la suma hasta p=8 deberíamos conseguir 10980324171470268800≈0.74682427 mientras que el valor exacto sería √π2erf(1)≈0.74682413 .
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