¿Es el conjunto de todos los enteros impares?

Question

Soy consciente de que esta puede ser una pregunta potencialmente absurda, pero paso una cantidad absurda de tiempo pensando en conjuntos equilibrados y finitos de números naturales y sus inversos. (Los conjuntos con un número par de elementos son perfectamente simétricos y no contienen el 0; los conjuntos con un número impar de elementos son equilibrados, pero menos simétricos, y deben contener el 0. El 0 es distinto entre los enteros al no tener inverso, y tampoco valor.)

Usando la inducción, parece que el conjunto de todos los enteros incluyendo el 0: [...,-1,0,1,...] debe ser impar, porque el 0 no tiene pareja, mientras que el conjunto de todos los enteros excluyendo el 0: [...,-1,1,...] debe ser par, porque hay una correspondencia de uno a uno de los números naturales > 0 y sus inversos.

Más concisamente, 2N debe ser par, pero 2N+1 debe ser impar.

¿Es esto correcto?

Answer 1

No estoy seguro de lo que quieres decir con impar y par en este contexto, pero supongo que quieres decir que crees que el conjunto $$\{...,-2,-1,0,1,2,...\}$$ tiene un número impar de elementos, porque cada número se puede emparejar con su negativo excepto el cero.

Sin embargo, usando este razonamiento, también podrías demostrar que tiene un número par de elementos, ya que puedes emparejar cada elemento con su opuesto más uno.

Temo que, como dice @RobertIsrael, tu uso de la paridad no es aplicable a conjuntos infinitos.

Answer 2

No creo que haya una forma estándar de asignar una paridad a un conjunto arbitrario... ¡pero eso no significa que sea imposible!

A veces se habla de la paridad de un número ordinal transfinito, según (las referencias en) https://en.wikipedia.org/wiki/Even_and_odd_ordinals. Pero el conjunto de enteros $\mathbb Z$ no está bien ordenado.

Se puede extender la definición de la siguiente manera. Deje que $\times$ denote el producto lexicográfico de conjuntos ordenados, $+$ denota la concatenación de conjuntos ordenados, y $\cong$ denota isomorfismo de orden.

• Un conjunto ordenado $S$ es par si existe un conjunto ordenado $H$ tal que $S\cong H\times 2.
• Un conjunto ordenado $S$ es impar si existe un conjunto ordenado $H$ tal que $S\cong H\times 2+1.

Entonces $\mathbb Z$ es par y no impar. Pero de nuevo, hasta donde sé, esto no es terminología estándar.

¡Edita: ¡Respecto a tu discusión sobre el emparejamiento particular de enteros, hay más que decir! En la respuesta anterior, el isomorfismo de conjuntos ordenados $\mathbb Z\cong\mathbb Z\times 2$ empareja efectivamente elementos que son vecinos: $0\leftrightarrow1, 2\leftrightarrow3, 4\leftrightarrow5, -2\leftrightarrow-1, -4\leftrightarrow3$ y así sucesivamente. Este emparejamiento no deja nada afuera.

Pero mencionas un emparejamiento diferente, $1\leftrightarrow-1, 2\leftrightarrow-2, 3\leftrightarrow-3$, y $0\leftrightarrow0$ -- es decir, $0$ es el único elemento sin pareja. Al invocar inversos en lugar de vecinos, estás tratando efectivamente $\mathbb Z$ como un grupo en lugar de un conjunto ordenado. ¡De acuerdo entonces, desarrollaremos una definición alternativa para grupos!

Deje que $+$ denote la operación de grupo en un grupo arbitrario $G$, permita que $-$ denote el inverso y deje que $0$ denote la identidad.

• Un grupo $G$ es par si tiene un número (finito) par de involuciones, es decir, elementos $g\in G$ con la propiedad de que $g=-g$, o equivalentemente $2g=0$.
• Un grupo $G$ es impar si tiene un número (finito) impar de involuciones.

Esta es una generalización de la definición usual de "par" e "impar" de la siguiente manera. Puedes verificar que si $G$ es un grupo finito, entonces la paridad de $G$ es la misma que la paridad del número de elementos en $G$. En particular, el grupo cíclico finito $\mathbb Z/n\mathbb Z$ es par o impar dependiendo de si $n$ es par o impar. También puedes verificar que si $G$ y $H$ son grupos (posiblemente infinitos), entonces su producto directo $G\times H$ obedece las leyes usuales: par por par es par, impar por impar is impar, y par por impar es par.

Bajo esta definición, $\mathbb Z$ es impar y no par, porque tiene exactamente una involución: $0$. ¡Ese es tu argumento original!

Notarás que ahora tenemos dos generalizaciones de "par" e "impar" para conjuntos ordenados y grupos, y las generalizaciones no coinciden. Eso es bastante desafortunado. Una forma de remediar tal situación es inventar un lenguaje más preciso. Puedes introducir terminología como "par en orden vs. impar en orden" y "par de involución vs. impar de involución". Esto sugiere los conceptos originales, a la vez que deja en claro que las generalizaciones no son del todo directas.

Si tomas esa última sugerencia y reservas "par" e "impar" para sus significados comunes, entonces podemos resumir:

• $\mathbb Z$ no es ni par ni impar, porque es infinito.
• $(\mathbb Z, <)$ es par en orden, porque $\mathbb Z\cong\mathbb Z\times 2$.
• $(\mathbb Z, +)$ es impar de involución, porque tiene una involución, $0$.

Answer 3

Lo que tiene sentido para conjuntos finitos no siempre tiene sentido para conjuntos infinitos. Si piensas que un conjunto infinito tiene un número impar de elementos, nombro otro elemento y ahora pienso que tiene un número par de elementos, pero luego puedes nombrar otro elemento y ahora una vez más estás convencido de que tiene un número impar de elementos.

Denotemos el conjunto de todos los enteros como $\mathbb Z$ (o como $\textbf Z$ si prefieres). $\mathbb Z$ es infinito. Multiplica cada entero en $\mathbb Z$ por 2, llámalo $2 \mathbb Z$. Ese conjunto también es infinito. Ahora toma $2 \mathbb Z$ y suma 1 a cada número en ese conjunto para obtener el cociente $2 \mathbb Z + 1$.

En todas estas operaciones, no hemos cambiado la cantidad de elementos que tiene el conjunto: aún tiene infinitos elementos.

Pero independientemente de si es finito o no, el 0 es en realidad un número entero par. Observa que el 0 está en $2 \mathbb Z$ pero no está en $2 \mathbb Z + 1$.

¿Por qué exactamente es que el 0 no tiene "pareja"? No tenemos que hacer coincidir cada entero con su inverso multiplicativo, que en el caso del 0 es el propio cero: $0 \times (-1) = 0$. Podemos optar igualmente por emparejar cada entero con su vecino "superior" o "inferior" (1 y $-1$, respectivamente, para el 0), para mencionar solo dos de las muchas posibilidades diferentes.

Answer 4

Ver la parte sobre Alejandro Magno, especialmente el número de miembros. Esto, o una versión de ello, estaba en un libro que mis padres tenían titulado Análisis de Estrés de un Vestido de Noche sin Tirantes. Recuerdo una parte adicional sobre cómo, si Alejandro realmente hubiera tenido un número finito de miembros, deberíamos ser capaces de miembros.

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 Bertrand Russell ha definido las matemáticas como la ciencia en la cual nunca sabemos de qué estamos hablando o si lo que estamos diciendo es verdad. Las matemáticas se han demostrado que se aplican ampliamente en muchos otros campos científicos. Por lo tanto, la mayoría de los otros científicos no saben de qué están hablando o si lo que están diciendo es cierto. Por lo tanto, proporcionar una base rigurosa para las ideas filosóficas es una de las principales funciones de las pruebas matemáticas.
Para ilustrar los diversos métodos de prueba, damos un ejemplo de un sistema lógico.

EL CÁLCULO PEYORATIVO

Lema 1. Todos los caballos son del mismo color (por inducción).

Prueba. Es obvio que un caballo es del mismo color. Supongamos la proposición P(k) de que k caballos son del mismo color y usemos esto para implicar que k + 1 caballos son del mismo color. Dado el conjunto de k + 1 caballos, quitamos un caballo; entonces los k caballos restantes son del mismo color, por hipótesis. Quitamos otro caballo y reemplazamos el primero; los k caballos, por hipótesis, vuelven a ser del mismo color. Repetimos esto hasta que por agotamiento los k + 1 conjuntos de k caballos han demostrado ser del mismo color. Se deduce entonces que dado que cada caballo es del mismo color que todos los demás caballos, P(k) implica P(k + 1). Pero como hemos demostrado que P(1) es verdadero, P es verdadero para todos los valores sucesivos de k, es decir, todos los caballos son del mismo color.

Teorema 1. Cada caballo tiene un número infinito de patas. (Prueba por intimidación).

Prueba. Los caballos tienen un número par de patas. Detrás tienen dos patas y delante tienen patas delanteras. Esto hace seis patas, que es ciertamente un número impar de patas para un caballo. Pero el único número que es a la vez impar y par es el infinito. Por lo tanto, los caballos tienen un número infinito de patas. Ahora, para demostrar que esto es general, supongamos que en algún lugar hay un caballo con un número finito de patas. Pero ese es un caballo de otro color, y por el lema eso no existe.

Corolario 1. Todo es del mismo color.

Prueba. La prueba del lema 1 no depende en absoluto de la naturaleza del objeto en consideración. El predicado del antecedente del condicional cuantificado universalmente 'Para todo x, si x es un caballo, entonces x es del mismo color,' es decir `es un caballo` se puede generalizar a `es cualquier cosa` sin afectar la validez de la prueba; por lo tanto, `para todo x, si x es cualquier cosa, x es del mismo color`.

Corolario 2. Todo es blanco.

Prueba. Si una fórmula proposicional en x es lógicamente verdadera, entonces cualquier instancia de sustitución particular de la misma es una oración verdadera. En particular entonces: 'para todo x, si x es un elefante, entonces x es del mismo color' es cierto. Ahora, es manifiestamente axiomático que los elefantes blancos existen (para la prueba por afirmación descarada, consulte a Mark Twain 'El Elefante Blanco Robado'). Por lo tanto, todos los elefantes son blancos. Por el corolario 1, todo es blanco.

Teorema 2. Alejandro Magno no existió y tenía un número infinito de miembros.

Prueba. Demostramos este teorema en dos partes. Primero notamos el hecho obvio de que los historiadores siempre dicen la verdad (los historiadores siempre toman una posición y por lo tanto no pueden mentir). Por lo tanto, tenemos la frase históricamente verdadera, 'Si Alejandro Magno existió, entonces montó un caballo negro Bucéfalo.' Pero sabemos por el corolario 2 que todo es blanco; por lo tanto Alejandro no pudo haber montado un caballo negro. Dado que el consecuente del condicional es falso, para que toda la afirmación sea verdadera, el antecedente debe ser falso. Por lo tanto, Alejandro Magno no existió.

También tenemos la afirmación históricamente verdadera de que a Alejandro se le advirtió por un oráculo que encontraría la muerte si cruzaba un río en particular. Él tenía dos piernas; y 'atención anticipada es tener cuatro brazos.' Esto le da seis miembros, un número par, que ciertamente es un número impar de miembros para un hombre. Ahora, el único número que es par e impar es el infinito; por lo tanto, Alejandro tenía un número infinito de miembros. Hemos demostrado así que Alejandro Magno no existió y que tenía un número infinito de miembros.

No se piensa que no haya otros tipos de pruebas, que en imprentas se registran en hojas de pruebas. Existe la prueba a prueba de balas y la prueba del pudín. Finalmente, hay una prueba de 200 grados, un espíritu muy potente entre matemáticos y personas por igual.

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Answer 5

Puedo argumentar que al mapear

1 -> 0

2 -> -1

3 -> -2

y así sucesivamente, el conjunto de todos los enteros es par.