De mi clase de Cálculo no creo que diga que la función $f:[0.\infty) \to \mathbb{R}$ dado por $f(x) = \sqrt{x}$ es una función par. La gráfica no es simétrica respecto a la $y$ -eje.
Pero según mi libro, y para Wikipedia una función $f$ es incluso si $f(-x) = f(x)$ para todos $x$ y $-x$ en el ámbito de $f$ . Así que como el dominio de la función raíz cuadrada es $[0,\infty)$ la función satisfaría esto.
¿Es eso correcto?
Creo que leyendo atentamente y correctamente has encontrado un sutil problema con la definición de la wikipedia. En efecto, es cierto que "siempre que ambos $x$ y $-x$ están en el dominio de la función raíz cuadrada los valores de la función coinciden" porque (como sabes muy bien) sólo $x=0$ satisface esa hipótesis. Por tanto, según la lectura estricta de la definición, la función raíz cuadrada es par.
Pero (como también te das cuenta) esa no es la intención de la definición. En esa definición está implícita la suposición de que el dominio es simétrico respecto a $0$ para que contenga $-x$ siempre que contenga $x$ .
No estoy de acuerdo con la mayoría (pero ni mucho menos con todas) las demás respuestas y comentarios. Sólo recuerdan que el dominio es $[0, \infty)$ .
Me alegro de que preste este tipo de atención.
El lenguaje utilizado en ese artículo de Wikipedia es inexacto. Una buena definición sería: si $D\subset\mathbb R$ una función $f\colon D\longrightarrow\mathbb R$ es incluso si $(\forall x\in D):-x\in D\text{ and }f(-x)=f(x)$ . Bajo esta definición, espero que estés de acuerdo en que la función raíz cuadrada (o, para el caso, cualquier cuyo dominio es $[0,+\infty)$ ) es no incluso.
Creo que la definición de la wikipedia se rescata con esta frase:
El concepto de paridad o imparidad se define para las funciones cuyo dominio e imagen tienen una inversa aditiva.
El dominio $[0,\infty)$ no tiene una inversa aditiva. Así que el resto del artículo ni siquiera se aplica a ella, y no es de extrañar que el intento de aplicarlo resulte en un sinsentido.
Por otro lado, si $D$ es un subconjunto de $\Bbb{R}$ que es simétrica respecto a $0$ podemos definir una inversa aditiva en $D$ mediante la restricción de $\Bbb{R}$ por lo que es razonable preguntarse si las funciones de $D$ à $\Bbb{R}$ están igualados.
No porque si $x>0$ entonces $f(-x)$ ni siquiera tiene sentido (como número real). La definición dada en Wikipedia es para funciones de un valor real, es decir, funciones de $\mathbb{R}$ à $\mathbb{R}$ . En tu caso eso no se cumple. Sin embargo, puedes ampliar la definición de la siguiente manera "Una función $f:D\to\mathbb{R}$ es incluso si $\forall x\in D,-x\in D\,\land f(-x)=f(x)$ ". En tu caso, el dominio no es simétrico, por lo que la función no es par.
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