Deje $z_i$ ser números complejos tales que $|z_i| = 1$ .
Probar que :
$$ z\, :=\, \frac{z_1+z_2+z_3 +z_1z_2+z_2z_3+z_1z_3}{1+z_1z_2z_3} \in \mathbb{R} $$
Este problema se presentó en mi hijo examen final el día de hoy, he intentado ayudar con esto, pero supongo que tengo un poco oxidado a mí mismo.
Alguna idea ?
Desde $|z_i|=1\iff z_i\overline{z_i}=1$, uno ha$$\begin{align}\overline{\left(\frac{z_1+z_2+z_3+z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1}{1+z_1z_2z_3}\right)}&=\frac{\overline{z_1+z_2+z_3+z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1}}{\overline{1+z_1z_2z_3}}\\&=\frac{\overline{z_1}+\overline{z_2}+\overline{z_3}+\overline{z_1z_2}+\overline{z_2z_3}+\overline{z_3z_1}}{1+\overline{z_1z_2z_3}}\\&=\frac{\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}+\frac{1}{z_3}+\frac{1}{z_1z_2}+\frac{1}{z_2z_3}+\frac{1}{z_3z_1}}{1+\frac{1}{z_1z_2z_3}}\\&=\frac{z_2z_3+z_3z_1+z_1z_2+z_3+z_1+z_2}{z_1z_2z_3+1}\\&=\frac{z_1+z_2+z_3+z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1}{1+z_1z_2z_3}\end{align}$$
Por $\,z_i \bar z_i = 1,\,$ $\ {z\!+\!1}\,=\,\frac{(1+z_1)(1+z_2)(1+z_3)}{1+z_1z_2z_3}\, =\, \frac{z_1z_2z_3}{z_1z_2z_3}\frac{(\bar z_1+1)(\bar z_2+1)(\bar z_3+1)}{\bar z_1\bar z_2\bar z_3+\,1} = \overline{z\!+\!1},\,$ por lo $\ z = \bar z $
Comentario $\ $ innata de simetría se puede ver muy bien por el polinomio de reciprocidad (reversión). Consideremos la Vieta) la generación de la función de la escuela primaria simétrica funciones de $\,e_i$ de la $\,z_i$
$$ g(x,z_i)\, =\, (x-z_1)\cdots (x-z_n)\, =\, x^n - e_1 x^{n-1} + e_2 x^{n-2} -\cdots + (-1)^n e_n $$
Conjugación tiene el efecto de vaivén de la $\,z_i,\,$ i.e $\,z_i\to \color{#c0f}{z_i^{-1}}.\,$ El efecto de esto en cada factor de $\,x - z_i\,$ está estrechamente relacionado con el vaivén $\,x,\,$ es decir $\,x\to \color{#0a0}{x^{-1}},\,$ es decir
$$\begin{align} z_i (x-\color{#c0f}{z_i^{-1}})\, & =\,z_i x - 1\, =\, -x\,(\color{#0a0}{x^{-1}}-z_i)\\ z_if(x,\,\color{#c0f}{z_i^{-1}})\, &=\, z_ix-1 \, =\, - xf(\color{#0a0}{\color{#0a0}{x^{-1}}},\,z_i)\end{align} $$
Aplicado a cada factor linear $\,f\,$ $\,g\,$ este rendimientos
$$ z_1\!\cdots z_n\, g(x, \color{#c0f}{z_i^{-1}})\ =\ (-x)^n g(\color{#0a0}{x^{-1}}, z_i)$$
El lado derecho es hasta firmar el polinomio recíproco de $\,g(x),\,$ es decir que se obtiene invirtiendo el orden de sus coeficientes. De la comparación de los coeficientes de $\,x^k$ podemos obtener un $\,\rm\color{#c00}{{reflection}}\,$ fórmula
$$ \color{#c00}{e_{\large n}\,\overline{e_{\large k}}}\, =\, e_{\large n}\, e_{\large k}(z_i^{-1})\, =\,\color{#c00}{e_{\large n-k}} \quad $$
$${\rm e.g.}\quad \color{#c00}{e_3 \bar e_1 } \, =\, z_1 z_2 z_3 \left[\frac{1}{z_1} + \frac{1}{z_2}+\frac{1}{z_3}\right]\, =\, z_2z_3 + z_3 z_1 + z_1z_2\, =\, \color{#c00}{e_2}$$
Tales reflexiones son evidentes en los cálculos en mathlove la respuesta, a saber.
$$\bar z\, =\, \frac{\bar e_1+\bar e_2}{\bar e_0+\bar e_3}\, =\, \frac{e_3}{e_3}\,\frac{\bar e_1+\bar e_2}{\bar e_0+\bar e_3}\, =\, \frac{\color{#c00}{ e_3 \bar e_1}+ e_3 \bar e_2}{e_3\bar e_0 + e_3\bar e_3}\, =\, \frac{\color{#c00}{e_2} +e_1}{e_3+e_0}\, =\, z$$
Como siempre: $ $ explotar innata simetría!
En primer lugar, tenga en cuenta que si $|z|=1$, $z=\cos\theta+i\sin\theta$ algunos $\theta$$1+z=1+\cos\theta+i\sin\theta=2\cos\frac{\theta}{2}e^{\frac{i\theta}{2}}$. Añadir 1 a la expresión original en la cuestión, hemos \begin{align*} \frac{(1+z_1)(1+z_2)(1+z_3)}{1+z_1z_2z_3}&=\frac{8\cos^2\frac{\theta_1}{2}\cos^2\frac{\theta_2}{2}\cos^2\frac{\theta_3}{2}e^{\frac{i(\theta_1+\theta_2+\theta_3)}{2}}}{2\cos^2\frac{\theta_1+\theta_2+\theta_3}{2}e^{\frac{i(\theta_1+\theta_2+\theta_3)}{2}}}\\ &=\frac{4\cos^2\frac{\theta_1}{2}\cos\frac{\theta_2}{2}\cos^2\frac{\theta_3}{2}}{\cos^2\frac{\theta_1+\theta_2+\theta_3}{2}} \end{align*} que obviamente es real.
Sugerencia: Agregar $1$ a la fracción (que no afecta a su "realidad") para obtener
$$ \frac{(1+z_1)(1+z_2)(1+z_3)}{1+z_1z_2z_3} $$
ETA: al Parecer, que debo hacer esto más explícito.
Para cualquier $z$ tal que $|z| = 1, \arg z = 2 \arg (1+z) \pm \pi$. Podemos ver esto por el trazado de la set $\{1+z: |z| = 1\}$ sobre el plano complejo; es un círculo de radio $1$ con su centro en $z = 1$. Dado cualquier punto de $1+z$, $\arg (1+z)$ es el ángulo entre el eje real y una línea de $0$ a $1+z$; $\arg z$ es el ángulo entre el eje real y una línea de$1$$1+z$. Desde $0$ se encuentra en el círculo de la circunferencia, y $1$ se encuentra en su centro, los ángulos están relacionados por una relación de $2:1$, e $\arg z = 2 \arg (1+z) \pm \pi$, donde el $\pm \pi$ no va a afectar a nuestra "realidad" argumento a continuación.
A continuación, puede verse que tanto el numerador y el denominador tienen argumento igual a $\frac{\arg z_1+\arg z_2+\arg z_3}{2} + k\pi$ (posiblemente con diferentes valores de $k$), por lo que el argumento general de la fracción es $0$ o $\pi$, y por lo tanto la fracción (y la expresión original) es real.
Si $|z|=1$,$z+\frac1z=z+\bar{z}=2\mathrm{Re}(z)$. Por lo tanto, los siguientes son reales: $$ \begin{align} \small\left(z_1+\frac1{z_1}\right)\left(z_2+\frac1{z_2}\right)\left(z_3+\frac1{z_3}\right) &\small=\frac{z_1^2z_2^2z_3^2+z_1^2z_2^2+z_2^2z_3^2+z_3^2z_1^2+z_1^2+z_2^2+z_3^2+1}{z_1z_2z_3}\tag{1}\\ z_1z_2z_3+\frac1{z_1z_2z_3} &=\frac{z_1^2z_2^2z_3^2+1}{z_1z_2z_3}\tag{2} \end{align} $$ La diferencia de $(1)$ $(2)$ también es real: $$ \frac{z_1^2z_2^2+z_2^2z_3^2+z_3^2z_1^2+z_1^2+z_2^2+z_3^2}{z_1z_2z_3}\etiqueta{3} $$ La relación de $(3)$ $(2)$ también es real: $$ \frac{z_1^2z_2^2+z_2^2z_3^2+z_3^2z_1^2+z_1^2+z_2^2+z_3^2}{z_1^2z_2^2z_3^2+1}\etiqueta{4} $$ Para cualquier $w_1$, $w_2$, y $w_3$ cuyos valores absolutos se $1$, podemos encontrar $z_1$, $z_2$, y $z_3$ cuyos valores absolutos se $1$, de modo que $w_1=z_1^2$, $w_2=z_2^2$, y $w_3=z_3^2$. Enchufar a $(4)$, obtenemos que para cualquier $w_1$, $w_2$, y $w_3$ cuyos valores absolutos se $1$, el siguiente es verdadero: $$ \frac{w_1+w_2+w_3+w_1w_2+w_2w_3+w_3w_1}{1+w_1w_2w_3}\etiqueta{5} $$
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