Si tengo un número entero al azar seleccionado entre 0000 y 9999, ¿cuál es la probabilidad que la suma de dígitos de ese número es divisible por 5? [P. ej. 1234 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10]
He comencé sabiendo que tengo 2 opciones para el último entero, pero no sé dónde ir desde allí.
Sugerencia: Elegir los tres primeros dígitos al azar primero y luego concentrarse en la última de ellas.
Es similar a cómo se aprecia la probabilidad de obtener la suma de $7$ al lanzar dos dados que $\frac16$ al notar que no importa de qué mueren el primera muestra, el resultado en el segundo dado puede hacer la suma $7$ exactamente una vez.
20%, o 1 de cada 5. Sólo les contó todo en Excel. Considerar que en cada década habrá 2 números divisibles por 5. El primer ser 0000 y 0005. Entonces 0014 y 0019. Y así sucesivamente hasta 0091 y 0096. Entonces cada siglo va a ser similar a la primera excepto para un cambio como obtenemos con cada década, 0104 y 0109... 0190 & 0195. Asimismo con los milenios. En consecuencia, las probabilidades siguen siendo el mismo, 1 de cada 5.
Tomar la suma de los 3 primeros dígitos, y se divide por 5. Usted tiene cualquiera 0, 1, 2, 3, 4, con probabilidades p_0, p_1, p_2, p_3, p_4. Usted probablemente podría demostrar que p_i = 0.2 para todos los i, pero no es necesario. Todo lo que necesita es que la suma(p_i) = 1
para cualquier i, hay dos números que el último dígito podría ser. Por ejemplo, si i = 1, la última cifra podría ser de 4 o 9. Desde el 2 dígitos de 10 posibles es de 20%, para una determinada suma de los 3 primeros dígitos, hay un 20% de probabilidad de que la suma total es divisible por 5
Así que usted tiene: 0.2*p_0 + 0.2*p_1 + 0.2*p_2 + 0.2*p_3 + 0.2*p_4 = 0.2*(p_0+p_1+p_2+p_3+p_4) = 0.2*1 = 0.2
así, el 20% de probabilidad
En este caso lo tenía fácil, ya que la base 10 es múltiplo del divisor 5. ¿Qué pasa si tenemos $n$ dígitos en base $B$ y está interesado en el divisor $d$?
Deje $\omega \neq 1$ $d$th raíz de la unidad, y considerar la posibilidad de $$ P(\omega) = \left(\frac{1 + \omega + \omega^2 + \cdots + \omega^{B-1}}{B}\right)^n = \left(\frac{1-\omega^B}{B(1-\omega)}\right)^n. $$ El coeficiente de $\omega^r$ es la probabilidad de que el resto es $r$. Podemos extraer la probabilidad de que un cero resto va por encima de todas las raíces de la unidad (el uso de $P(1) = 1$): $$ \Pr[r=0] = \frac{1}{d} + \frac{1}{d} \sum_{t=1}^{d-1} \left(\frac{1-\omega^{tB}}{B(1-\omega^t)}\right)^n. $$ No es claro de inmediato por qué esta expresión es real. La razón es que los términos de $t$ $d-t$ son complejos conjugados (desde $\omega^{d-t} = \overline{\omega^t}$).
Perron-Frobenius la teoría nos dice que la norma de los autovalores $\frac{1-\omega^{tB}}{B(1-\omega^t)}$ es estrictamente menor que 1, por lo que la convergencia a $1/d$ es exponencialmente rápido.
Javi es casi justo! ¿Por qué centrarse en el último dígito? Por ejemplo, la suma de dígitos de 104 es divisible por 5. Así que tenemos que comprobar las posibilidades. La más pequeña suma es cero y el máximo posible de la suma de cuatro dígitos es cuatro veces nueve = 36, como Javi acabo de explicar correctamente. Ahora vamos a ver cómo muchos de los posibles dígitos sumas son divisibles por 5: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30 y, finalmente, 35. Así que uno podría suponer que P es 8/36 $\approx$ 0,22. Pero eso no es cierto... Mirando el dígito sumas para cada década, veremos que siempre hay sólo dos sumas divisible por 5. Por lo que el valor de 0,2 o 20 % es correcta.
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