La desigualdad engañosa no le sirve a AM-GM

Question

Dejemos que $a,b,c$ sean 3 números reales positivos distintos, tales que abc = 1. Demostrar que $$\frac{a^3}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}\ +\frac{b^3}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}\ +\ \frac{c^3}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\ \geq 3$$

He probado AM-GM de muchas maneras diferentes, pero no funciona ya que uno de los términos en el LHS inevitablemente se convierte en negativo. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Por AM-GM $$\sum\limits_{cyc}\frac{a^3}{(a-b)(a-c)}=-\sum\limits_{cyc}\frac{a^3}{(a-b)(c-a)}=-\sum\limits_{cyc}\frac{a^3(b-c)}{\prod\limits_{cyc}(a-b)}=a+b+c\geq3$$